圆锥曲线的又一个性质.doc

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1、圆锥曲线的又一个性质贵州省遵义市第一中学贺聿洪邮编563001文[1]给出，过圆锥曲线上定点作两弦、，当、的斜率乘积为定值时，必过定点。本文阐明的是，过圆锥曲线上定点作与对称轴成等角的两弦、，则的斜率是定值，且正好等于过这个定点的切线的斜率的相反数。定理1过椭圆上定点作与对称轴成等角的两弦，则，也正是过点切线斜率的相反数。定理2过双曲线上定点作与对称轴成等角的两弦，则，且也正是过点切线斜率的相反数。定理3过抛物线上定点作与对称轴成等角的两弦，则，也正是过点切线斜率的相反数。前两个定理证明方法类似，这里只给出定理2、3的证明。定理2证明：设双曲线上定点的，，直线倾斜角为，则直

2、线的方程为：，代入双曲线方程整理得:，就是设则∴又∵直线的倾斜角为，则直线的方程为：代入双曲线，设，同上可得故====而双曲线上过点的切线的斜率为，正好是的相反数。证毕定理3证明：设抛物线上定点的，直线倾斜角为，则直线的方程为，代入抛物线方程，整理：设，则∴又∵直线的倾斜角为，则的方程为，代入抛物线方程，并设，同上可得故====而过抛物线上点的切线的斜率为，正好是的相反数。证毕例点、在抛物线上，是抛物线的顶点，已知，且，求证：∠的角平分线垂直于轴。若抛物线上两点、，使∠的角平分线垂直于轴，是否存在实数，使，请给出证明。证明：设、∵∴，即…（1）又∵∴…（2）将（1）代入（2

3、）得：∴∴或∴∠的角平分线与轴平行，即垂直于轴。当时，∵∠的角平分线垂直于轴∴∠的两边、与对称轴轴成等角。由定理3可知，，且过点的切线的斜率为，∴存在实数，使事实上，当时，∵所在直线是，代入，得∴设：，则：，代入得：、∴∴、共线，即总存在实数，使。（当时的讨论，仿上，略）参考文献：1、杨日武，一类直线过定点问题的探讨，数学通报。2003，04：28