解决平面向量问题的六个基本策略

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1、解决平面向量问题的六个基本策略高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量”这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在在选择填空的压轴题中，同学们在处理这类问题是常常无从下手.我们对多年的高考题进行系统整理、研究，总结出解决平面向量问题的六种基本策略，供大家参考.一、坐标化策略：坐标法应该是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表示出来，则向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题：平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决。如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，有时也会

2、给一个定角和一些线段长度的不规则图形，均可尝试坐标化策略解决问题.例1.已知直角梯形ABCD中，,P是腰DC上的动点，则的最小值是分析：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由题意可得A（2，0）P（0，y）C(0,c),则=，于是当y=时取得最小值5.二、数量化策略：教科书上证明正、余弦定理时重点如何将向量等式数量化，而向量数量化的基本方法是平方法（）或向量等式两边同时乘以一个向量，进行数量积运算.三、算两次策略：平面向量基本定理的重要前提是向量不共线，而结论有两点：一是存在一对实数，使得a=e1+e2；二是这对实数是唯一的。这唯一性是说：

3、a=e1+e2=e1+e2,则必有=,=，其实质相当于从两点重合推出其坐标相等，或从两个复数相等推出其实部和虚部分别相等，这种由一个等式获取两个等式的法则，又称为算两次的思想，是方程思想的另一种表述，在高中数学中应用广泛，如几何中的等面积法、等体积法等.例2.设向量a与b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实数=解析：因为向量a+b与a+2b平行，所以a+b=（a+2b），则a+b=a+2b,又因为向量a与b不平行，由平面向量基本定理可得=且1=2，因此=3四、基底化策略：平面向量基本定理(平面向量分解定理)是解决向量问题的重要工具，它的作用在于把平面中纷繁复杂的向量都用两个不共线的基向量

4、来表示。其关键是选好一组基底（两个向量的模长与夹角应该已知），其他向量都用这一组基底进行线性表示.例3.在中，已知,AB=2，AC=3，,,则

5、

6、=分析：本题中，若建系，点与点之间的坐标关系很难找到，不是一个明智的选择。换个角度，因为线段AB,AC的长度和夹角都已知，所以选取向量作为基底，将用这一组基底进行线性表示.解：=-+，而=+,,从而=+,因此，=(+=+=五、巧用回路转化策略：所谓回路，就是向量从一点出发，通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路.就是这个直观而又简单的回路，常常关系到问题解决的成败，但你在解题过程中想到了要利用回路，那么问题的解决就会变得简洁。适当选择回路，是向量

7、解题的基本手法，关键之处就在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，数学大师张景中称其为“绕来绕去的向量法”.如果遇到题目中只告诉一条线段的长，则用回路法将其他向量都用该向量表示.例4.在中，M是BC边上的中点，

8、

9、=1,P是线段AM上的一个点，且,则的值是（A）A、B、C、D、分析:因为=,，所以=4=例5.在中，D是BC边上的一点，且,P是线段AD上的一个动点，若

10、

11、=2,则的最小值是（B）A、-8B、-4C、-2D、0分析：===4设,则=4=()3所以的最小值为-4六、几何化策略：除了代数的坐标法之外，利用几何意义数形结合也是处理平面向量问题的重要方法，因此要灵活

12、构建平面图形，凸显向量几何本色.1.构建“三角形.例6.若

13、a

14、=1,

15、b

16、=2,c=a+b,且ca,则向量a与b的夹角为=解析：当题目中出现一些特殊角度或特殊的线段关系，比如线段相等或二倍关系等，应该首先考虑构造图形来解决.作直角,,设a=,b=,则a+b,,延长CA到D,使得AD=CA,可得向量向量a与b的夹角为2.构建“圆”.如果题目中出现单位向量，共起点的单位向量的终点在同一个圆，因此可以构造一个圆，进行特殊化处理.平面向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，它集形数于一身，是数形结合的有效载体，是沟通代数、几何与三角函数工具.如何有效突破平面向量问题，关键是要抓住向量概念的核心，

17、即向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，因此解决向量问题有向量代数与向量几何两个基本解决思路，其中向量几何注重从形的角度分析解决问题，可衍伸为基底化策略、巧用回路转化策略、几何化策略；向量代数注重从坐标运算与布列方程的角度分析解决问题，可衍伸为坐标化策略、数量化策略、算两次策略.因此平面向量问题既可以从“数”的角度来解决，也可以从“形”的角度来思考，一题多法，多题一解。3