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1、数学恒成立问题解法小结北海七中林秀雅函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.题型一、赋值型——利用特殊值求
2、解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1)→()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以b1+b2+b3+b4=0，故选D例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）.A.1B.-1C.D
3、.-.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.题型二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并定成nmoxynmoxy同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例3．对于满足
4、a
5、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一
6、个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在
7、a
8、2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.题型三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+b
9、x+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4．若函数的定义域为R，求实数的取值范围.分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当恒成立，所以，①当此时②当有综上所述，f(x)的定义域为R时，例5.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：变式1：若时，恒成立，求的取值范围.分析：要使时，恒成立
10、，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值为.⑴当，即时，又不存在.⑵当，即时，又⑶当，即时，又综上所述，.变式2：若时，恒成立，求的取值范围.解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.2—2略解：，即在上成立.⑴⑵综上所述，.解法二：（运用根的分布）⑴当，即时，不存在.⑵当，即时，，⑶当，即时，，综上所述.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采
11、用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题题型四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例6.已知三个不等式①，②，③．要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围.略解：由①②得212、要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以例7.函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，又对所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，，即关于a的一次函数在[-1，1]上大于
