2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题10 平面几何

《2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题10 平面几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、...1、（2000二试1）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．2、（2001二试1）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。[来源:Z.xx.k.Com]【解析】证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC

2、2－MH2＝AC2－AH2①∵BE⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2②∵DA⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2③......∵OB⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2④∵OC⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH2∴OH⊥MN∵∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，)∴直线DF的方程为......由得N()同理可得M()∴∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．3、（2002二试1）如图，在⊿ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点

3、，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求的值。4、（2003二试1）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．[来源:Zxxk.Com]分析：由∠PBC=∠CDB，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ，则DBDQ∽DDAQ．反之，若DBDQ∽DDAQ．则本题成立．而要证DBDQ∽DDAQ，只要证=即可．【解析】：连AB．∵DPBC∽DPDB，......5、（2004二试1）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分

4、别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．6、（2005二试1）如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）【解析】证明：（1）先证DE过△ABC的内心。如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，得，AG⊥DC，ID=IC.又D、C、E在⊙A上，...

5、...7、（2006二试1）以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。【解析】以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，

6、1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。证明：（1）显然B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P′0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，

7、B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P′0。四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P′0在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0P′0。从而可知点P′0与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0、圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。（2）现在分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点