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1、解析几何专题题型一：结合韦达定理解题（Ⅰ）定值问题：例1、椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为．（１）求椭圆的方程；（２）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1）是椭圆上任一点,且，……………………2分当时，有最小值；当或时,有最大值．，，．椭圆方程为。……………………4分（2）设，，将代入椭圆方程得．………………6分，，，为直径的圆过点，，19或都满足，……………………9分若直线恒过定点不合题意舍去，若直线：恒过定点．EX1.1已知椭圆上有一个顶点到两个焦点
2、之间的距离分别为，；（1）求椭圆的方程；（2）如果直线与椭圆相交于，若，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；（3）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于两点，与轴交于点，若，，证明：为定值．解：（1）由已知………………………3分所以椭圆方程为。………………………5分（2）依题意可设，且有又，将代入即得所以直线与直线的交点必在双曲线上。……………………10分（3）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，……………11分19设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，所以，①，②……………………13分因为，所以，即所以，又与轴不垂直，所以，所以，同理。…………………………14分
3、所以。将①②代入上式可得。…………………………16分例2、如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.（1）求抛物线方程；xA(4,2)OyPF（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点,若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.解：设抛物线的准线为，过作于，过作于，B（1）由抛物线定义知xA(4,2)OyPFC(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为：5分（2）假设存在点，设过点的直线方程为，显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标19原点有①6分把代人得由韦达
4、定理②7分又③②代人③得④②④代人①得动直线方程为必过定点10分当不存在时，直线交抛物线于,仍然有，综上：存在点满足条件12分EX2.1已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程；(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长；是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.解:(1)由题意,可设抛物线方程为.…………1分由,得.…………2分抛物线的焦点为,.…………3分抛物线D的方程为.…………4分(2)设,.…………5分直线的方程为：,…………6分19联立,整理得:…………
5、7分=.…………9分EX2.2已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于，两点．问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）由因直线相切，，∴，……2分∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴故所求椭圆方程为19（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：由即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）（ⅱ）
6、若直线L斜率存在时，可设直线L：由记点．∴TA⊥TB,综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．（Ⅱ）取值范围问题：例3、如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E；（I）求曲线E的方程；19（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围．【解】（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴
7、NA
8、=
9、NM
10、.…………………………2分又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分∴曲线E的方程为………………6分（2）当直线GH斜率
11、存在时，设直线GH方程为得设……………………8分，……………………10分19又当直线GH斜率不存在，方程为……………………………………12分EX3.1如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．（1）是否存在k，使对任意m>0，总有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求实数k的取值范围．【解】（1）椭圆C：1分直线AB：y＝k（x－m）,…………2分，（10k
