高等数学高阶导数

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1、二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束即记为或记为定义：若函数的导数在点处可导，即存在，则称此极限为函数在点处的二阶导数，或机动目录上页下页返回结束或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或依次类推,分别记作这里设求例1.机动目录上页下页返回结束设求例2.解：解：机动目录上页下页返回结束例3证：满足证明：例4.机动目录上页下页返回结束设求解：依次类推,可得特别有:机动目录上页下页返回结束例5.求的n阶导数。和解:一般地,类似可证

2、:机动目录上页下页返回结束一般地机动目录上页下页返回结束设求补：解：例6.求的n阶导数。解:规定0!=1机动目录上页下页返回结束即例7.求的n阶导数。机动目录上页下页返回结束证明：特别地，当时设求解:依次类推,例8.可得机动目录上页下页返回结束例9.设求解:特别有:机动目录上页下页返回结束例10.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束推导目录上页下页返回结束二、函数乘积的阶导数的莱布尼兹公式都有n阶导数,则及设函数用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.即比较二项式定理展开式：（形式完全一样）例11.求解:设则代入莱

3、布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束求解:设则代入莱布尼兹公式,得练：例12.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束(3)提示:令原式原式机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束2.(填空题)(1)设则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时,提示:则当机动目录上页下页返回结束3.试从导出解：同样可求(见P103题4)第四节目录上页下页返回结束作业P1011（11）（12）310（2）第四节目录上页下页返回

4、结束解:设求其中f二阶可导.备用题机动目录上页下页返回结束