第2讲函数的单调性与最大小值

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1、第2讲函数的单调性与最大(小)值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是(　　)．A．y＝x2B．y＝

2、x

3、＋1C．y＝－lg

4、x

5、D．y＝2

6、x

7、解析　对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg

8、x

9、为偶函数．答案　C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(

10、x

11、)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　∵f(x)在R上为减函数且f(

12、x

13、)＜f(1)，∴

14、

15、x

16、＞1，解得x＞1或x＜－1.答案　D3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．答案B4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于(　　)．A．2B．3C．6D．9解析　f(1)＝f(0＋1)＝f(0

17、)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.答案　C5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，1]C．(－∞，0)D．(－∞，－1]

18、解析　二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案　C6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－

19、x

20、，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　)．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析　f(x)＝⇔f(x)＝f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．答案　C二、填空题7．奇函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝0，

21、且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x2－4)f(x)<0的解集为________．解析　当x2－4>0，即x<－2或x>2时，f(x)<0.由f(x)的图像知，x<－4或20，则－2

22、x

23、的递增区间是_______．解析y＝－(x－3)

24、x

25、＝作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案9．已知函数f(x)＝2ax2＋4

26、(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．解析　①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.答案　10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围

27、是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是____________．解析　根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．答案　①③④三、解答题11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．解当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当0

28、<1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．12．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；