函数值域的求法大全

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1、完美WORD格式函数值域的求法大全题型一 求函数值:特别是分段函数求值例1 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f[g(3)]的值.解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.(2)∵g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.反思与感悟 求函数值时,首先要确定出函数的对应关系f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,对于f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f

2、[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练4 已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求f[f(1)].解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.(2)f(1)==,f[f(1)]=f()==.5.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f();(2)若f(x)=5,求x的值.解 (1)f(2)=22+2-1=5,f()=+-1=.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,∴x=2,或x=-3.(3)专业整理分享完美WORD格式4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x+1)=f(x

3、)+1,f(0)=1,则f(5)=________.答案 6解析 f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法:(1)直接法(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法(4)配方法(5)换元法(包括三角换元)(6)反函数法(逆求法)(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法(10)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

4、求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x

5、x0},值域为{y

6、y0};二次函数的定义域为R,当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③(记住图像)解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②略专业整理分享完美WORD格式③当x>0,∴=,当x<0时,=-∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)函数的图像为:二次函数在区间上的值域(最值):

7、例2求下列函数的最大值、最小值与值域:①;②;③;④;解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y

8、y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2[0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x

9、=5时,y=6,∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时,专业整理分享完美WORD格式①当a>0时,则当时,其最小值;②当a<0时,则当时,其最大值;⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较的大小决定函数的最大(小)值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)

10、值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数y=3+的值域解:由算术平方根的性质,知≥0,故3+≥3。∴函数的值域为  .2、求函数的值域解:对称轴1单调性法例3求函数y=4x-(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=-,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y

11、y≤4/3}。专业整理分享完美WORD格式小

12、结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数y=3+的值域。(答案:{y

13、y≥3})2换元法例4求函数的值域解:设,则 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数y=的值

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