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1、第章实例及数学模型一般地说,为了定量地解决一个实际问题,从中抽象,归纳出来的数学表述就是数学模型.数学模型可以描述为,对现实世界的一个研究对象,为了一个特定目的,做出必须的简化假设,根据对象的内在规律,运用适当的数学工具,得到的一个数学表述.而数学建模包括模型的建立,求解,分析和检验的全过程.从实际问题到数学模型,又从数学模型的求解结果回到现实对象.数学建模面临的实际问题多种多样,建模的目的不同,分析的方法不同,采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同.1初等数学模型实例1商品市场占有率问题有R和S两家公司经营同类产品,这两家公
2、司相互竞争.每年R公司保持1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转移向R公司.当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额.试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样?10年以后呢?是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变?一问题及分析模型建立根据两家公司每年顾客转移的数据资料,形成下面的转移矩阵又根据产品制造之初市场的初始分配数据可得如下向量所以一年后,市场分配为两年以后,市场分配为设年后市场分配的份额为,则有设数据为R公
3、司和S公司的初始市场份额,则有为了使以后每年的市场份额分配不变,根据顾客转移的规律,有即这是一个齐次方程组问题,如果方程组有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场份额稳定的初始份额.由上面的分析得该问题的数学模型为求两个线性方程组,即二模型的求解可以用[x1,x2]=solve(s1,s2,v1,v2)来求方程组的解.也可以用命令rref(),化为上三角阵,再求解.计算程序为A=[1/41/3;3/42/3];X0=[3/5;2/5];X2=A^2*X0X5=A^5*X0X10=A^10*X0运算结果为X2=0.30970
4、.6903X5=0.30770.6923X10=0.30770.6923为了求和作为R公司和S公司稳定的初始市场份额,用命令rref来求解齐次方程组计算程序为formatrat;rref(A-eye(2))运算结果为ans=1-4/900由此得化简后的方程为结合约束条件可以得到这就是使市场稳定的两家公司的初始份额.2微积分方法模型实例问题分析及模型建立模型的求解3微分方程模型本节以实例分析并建立微分方程模型,对模型作了解析解以及MATLAB数值解.而当函数以离散数据形式表示时,函数的数值微分就得借助差分来计算,差分是微分的近似.
5、故本节还分析了简单的差分方程模型.实例1温度冷却由物理学知道,物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比.今100℃的沸水注入杯里,放在室温为20℃的环境冷却,5min后测得水温为60℃.求水温与时间的函数关系.一问题分析及模型的建立设比例系数为,根据题意可得微分方程二模型的求解此为简单的一阶可分离变量微分方程,可得解析解另外,还可用MATLAB程序求其解析解和数值解.解析解的程序为dsolve('Du+k*(u-20)=0','u(0)=100','t')%dsolve为求常微分方程的符号解函数运算结果为u=20+
6、80*exp(-k*t)再由,可得,即数值解的程序为f=inline('-0.2*log(2)*(u-20)','t','u');[t,u]=ode45(f,[0,100],100);%ode45为龙格库塔法求微分方程的数值解plot(t,u)%绘制0到100分钟的温度随时间变化的图形图温度随时间变化从图可看出温度随时间逐渐趋于20℃.实例2动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食物来源短
7、缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一问题分析及模型的建立设和分别表示时刻田鼠与其天敌的数量,如
8、果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的
