《数域的判定》word版

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1、题目：数域的判定研究问题：数域方法：定义法例题：例1.证明两个数域之交是一个数域设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0,则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域.例2.证明两个数域“之并”未必是数域.如：A={x

2、x=a+b√2,a,b∈Q}B={x

3、x=a+b√3,a,b∈Q}看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域例3.判断下列说法是否正确。（1）自然数集N及整数集Z都不是数域。解：对的，自然数集和整数集不是数域，

4、有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1不满足这一条。（2）奇数集不是数域。解：对的例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。方便起见,不妨改为证明f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.用反证法,假设f(x)=g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.依次带入x=1,2,...,n,可知g(k)h(k)=f(k)=-1,对k=1,2,...,n.而g(k

5、)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.且g(k)=1时h(k)=-1,而g(k)=-1时h(k)=1.因此总有g(k)+h(k)=0,对k=1,2,...,n.多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数

6、=aE例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE（此也为定理）故A=PaEP^(-1)=aE例7.设A是数域P上一个N*N阶矩阵,证明A与A^T相似设x1x2.xn为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn]其是可逆的则有X^

7、(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX进而有(XX')A'(XX')^(-1)=A故有A和A'相似例8.设A是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T^-1AT为上三角矩阵.证明：设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,J1λi1J2λiJ=.Ji=.1Jn为Jordan标准型,而λi,i=1,2,...

8、,s由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.证毕.例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，AB-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换证明：对B的任何一个特征向量X,设BX=λX,即X是B的属于特征值λ的特征向量.由AB-BA=A,有ABX-BAX=AX,故λAX-BAX=AX,

9、B(AX)=(λ-1)AX.若AX非零,则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.重复上述过程,若A²X非零,则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.依此类推,直至第n次:若(A^n)X非零,则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量.但V的维数为n,B不可能有n+1个特征值λ,λ-1,...,λ-n.所以对某个k≤n,有(A^k)X=0,从而也有(A^n)X=0.由B可对角化,其特征向量构成V的一组基.A^n在V的一组基上都取0,所以A^n=0.例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：①A可逆则A无0特征值；②A可逆，则A－1与A有相同

10、的特征向量，若λ0为A的特征值，则λ0-1为A-－1的特征值证明：（1）用反证法