信号系统与卷积

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1、信号系统与卷积在不少程序员眼中，卷积这个数学概念是很神秘很难懂的。由于其在数学、物理学、电子工程、信号处理、计算机科学中极为重要，所以我试图在本文中讲解卷积的概念，力求易读易懂，让尽可能多的人理解卷积。前几天见到VC知识库论坛上有人提问：“卷积是什么意思？”，似乎女友也问过类似问题，所以我想很有必要澄清这个既基础又重要的卷积概念。如果您已经对此非常了解，那完全可以忽略本文了。本文的目标读者是那些见了卷积这两个字就头大，又迫于工作需要，必须弄懂的人。我假设您已经通过了大学一年级的高数考试，但现在已

2、经忘得差不多了J。很多教科书一上来就会给出卷积的定义，接着就是一串推导、证明、例子，如果你不太适应这种方式，那本文可能会非常适合你。卷积在信号处理领域中尤为常用，就以此慢慢引入卷积概念吧。日常生活中到处都是信号系统，它们接受一定的输入后，会给出一定的输出：手机受到对方来电的信号就会响铃或震动；电脑接到一串按键信号，屏幕就会输出一串对应的字符；女友在收到男友送的一束玫瑰后也许会送上一个热吻……现在，我们把这些信号系统抽象成“黑匣子”，不管它的内部构造，而只关注它对输入的响应。数学化一点儿，将一个给

3、定的信号系统记为S，设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，t可以代表时间，也可以是其它什么。那么：y(t)=S{x(t)}就表示系统S将x(t)这个输入信号转化为输出信号y(t)。太一般化的信号系统不容易研究，那就加入一些“合理的”限制条件。S是连续（continuous）的，如果t可以连续变化；特别的，x(t)和y(t)都是定义在实数域上的函数。物理世界中的信号系统大多是连续的。S是离散（discrete）的，如果t只能取一些分立的值；特别的，x(t)和y(t)都是定义在整数域上的函数。离

4、散的信号系统可以比较方便的被计算机分析处理。S是线性（linear）的，如果对任意两个输入信号x1、x2和任意的常数c1和c2有：S{c1x1(t)+c2x2(t)}=c1S{x1(t)}+c2S{x2(t)}拿超市作比喻，我跟女友去买2斤萝卜和3斤白菜，即c1=2，c2=3，x1是萝卜，x2是白菜。如果超市是“线性的”，那么无论是我俩合一块结帐，还是各拿一样菜从两个收银通道分别结帐，最终花的钱是一样多的。更一般的，对任意n个输入信号xn，有：ci为任意常数。S是时间不变（time-invari

5、ant）的，如果对任意的常数t0，有y(t–t0)=S{x(t-t0)}。意思是说，如果输入信号迟到t0的时间，那么我们还是会得到相同的输出，只是输出也晚了t0的时间。还拿超市作比喻，我今天花了40块钱买桶食用油。如果超市是“时间不变”的，那我过两天再去买同样的东西照样是花40块钱，只不过是晚了两天才拿到而已。如果S同时具备线性和时间不变性，则称之为线性时不变系统，记作LTI，它满足：其中xi为任意输入，ci，ti为任意常数。（如果某个延迟ti<0，意思是未来的信号提前影响系统。我们并未要求系统

6、是因果性（causal）的，即允许未来的信号对当前的系统输出产生影响。）本文将对比讨论离散的和连续的线性时不变系统。前者更容易理解，就先讲离散的线性时不变系统吧。有了前文给系统加入的约束，我们就凭空获得了一些已知条件。为了进一步简化问题，这次我们拿输入信号开刀，将之限定为一个最简单的单位强度的脉冲输入。说白了就是轻轻碰你一下，看看有啥反映。这个输入叫做离散冲击函数（impulsefunction）：t是整数。它只在原点处有非零值，其余地方全是0。由定义显然： t0是任意整数常数。这个函数具有筛选

7、特性（siftingproperty）：这看起来是很显然的。你可能会问：“这玩意儿有什么用？我们可以从已知函数x和d来构造新函数x，这简直是循环论证，而且还引入了如此复杂的额外步骤。”其实，上式的含义是把x(t)看作是一系列常数，就像ci那样，不再依赖于t。于是我们就把输入信号x(t)分解成了一串带有不同系数的冲击信号的叠加。LTI系统对冲击函数的响应（即输出）叫做冲击响应（impulseresponse）：h(t)=LTI{d(t)}。可以证明，对于一个LTI系统，只要我们知道了冲击响应函数h

8、(t)，就可以计算出它对任意输入的响应。换句话说，如果我们能够分析出一个LTI系统对单位强度的脉冲信号所做出的响应，那么我们就可以完全（至少是从输入输出的角度）描述此系统的行为了。下面来证明看看。一个LTI系统对于任意输入的响应为：由于系统是线性的，所以上式可变为：仔细看看，其中的LTI{d(t–t0)}就是系统对冲击函数的响应，只不过推迟了t0而已。由于系统是时间不变的，所以LTI{d(t-t0)}=h(t–t0)。（顺带提一句，如果系统是因果性的，则任何的输出都必须起因于现在和过去的输入，与