周益春-材料固体力学课后习题解答

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1、第一章习题1证明恒等式[证明]习题2证明若，则[证明]，又因为所有的指标都是哑指标，，所以，即习题3已知某一点的应力分量，，，不为零，而，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。[解]如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，，可求得该面上的应力为由斜面正应力表达式，可求得正应力为？？剪应力为习题4如已知物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。[解]物体表面外表面法线的方向余弦为86带入应力边界条件，，得习题5已知某点以直角坐标表示的

2、应力分量为，，，，，，试求该点以柱坐标表示的应力分量。[解]如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：xyzrcosθsinθ0θ-sinθcosθ0z001注意由应力分量转换公式，求得利用三角公式可将上面的式子改写为86习题6一点的应力状态由应力张量给定，式中，，，为常数，是某应力值，求常数，，，以使八面体面上的应力张量为零[解]由斜面应力公式的分量表达式，，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得习题7证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力，，必为实根[证明]（1）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、。根据主应力定义有：，将以上两式分别点乘和再相

3、减，得是对称应力张量，上式可改写为所以应力的三个主方向互相垂直（2）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、若为复数，则为其共轭复数，从而方向余弦、互为共轭与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为[证明]球形应力张量，设任意斜面的方向余弦为由斜面应力公式，得由斜面正应力公式，得由斜面剪应力公式，得习题9求应力偏量张量的不变量[解]应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量，86应力偏量张量，其主应力方程为，即上述方程存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即得到关于的三次代数方程，其中，和分别为应力偏量张量的第一、第二、第

4、三不变量设，和为应力偏量张量的三个主值，则习题11设为二阶对称张量，证明由导出的应力一定满足无体力的平衡方程[证明]  又关于，反对称，关于，对称，即满足无体力的平衡方程，－忽略体力下的平衡微分方程习题12已知直角坐标系中各点的应力张量，试求体积力分量[解]根据平衡微分方程，得对谁偏导的问题得体积力分量为习题13如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为液体的压力，已求得应力解为，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,,和86[解]如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根

5、据应力边界条件，，在处由上述两个方程组，得外力是如何确定的习题14如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。[解]如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，，在处86第二章习题1初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。[解]采用拉格朗日描述法，，得由格林应变张量，，，得习题2证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。[证明]（1），显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之

6、间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量86（2）设有一剪应变张量，其分量取任一矢量，则，但不能缩并为，与假设是张量矛盾。根据张量的商判则，不是任何张量的分量。习题3为求平面应变分量、、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、、表示，试求、、[解]平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的工程正应变公式，，得求得习题4假设体积不可压缩位移与很小，，在一定区域内已知，其中，，为常数，求。[解]题目条件适用小变形，，得86体积不可压缩，即习题5在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式

7、，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。[解]在平面应变状态下，由应变分量转换公式，，得（1）代入，即（2）（3）（4）因此，（5）86（6）将式（2）-（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式：习题7证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。[证明]对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关关于，对称；关于，对称对于排列符号关于，反对称；关于，反对称即应变恒满足变形协调方程，习题8假定物体被加热至定常