周益春-材料固体力学习题解答习题四

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1、第四章弹性平面问题的习题习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡方程求出及，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？图4-1解：（1）由材料力学公式求正应力：而现在，解此微分方程得，，其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下：，。。（2）据弹性力学平衡方程求及据弹性力学平面问题平衡微分方程，不计体力，即，得，由积分此式得-30-，用边界条件确定待定函数：，它也满足。同时，积分此式得，由边界条件确定待定函数。故。（3）验证应力分量表示的协调方程现在不计体力，即，应力分量应满足，即要求。而现在。故不能满

2、足协调方程。习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力）解：（1）选择应力函数-30-图4-2载荷q沿x轴呈线性分布，可断定沿x轴呈线性分布。可令且有边界条件故，解此微分方程得。这样，应力函数沿x轴的变化规律已定，而待定函数，，只是坐标y的函数。（2）检验域内方程把应力函数代入应力协调方程（无体力）得，上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即。解这些微分方程得根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令，于是-30

3、-（3）检验边界条件，确定待定系数上下边界为，据得，由以上两式分别相加、减得（a）又据上下边界中对x为任意值有得（b）将（b）中的第1式加、减第3式得（c）将（b）中的第3式加、减第4式得（d）（e）由（a）式中的第2式和（c）式得-30-由（e）式得K=0。由（a）式中的第1式得根据外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2：在x=0的端面内据得（f）由第（d）式和第（f）式得。由，由。综上得：，应力函数为。习题3、已知载荷分布如图所示，即当周期分别为（1），如图4-3（b）所示。（2），如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。（3），如图4

4、-3（e）所示，且取x的奇函数。试用傅氏级数写出的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。-30-图4-3解：（1）周期为，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中，，将按傅立叶级数展开成其中（n=0，1，2，…）（n=1，2，…）于是，，。，-30-如图4-3（c）所示，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（2）设，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。对原来的载荷进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中（n=0，1，2，…），而（n=1，2，…）于是，，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（3）设，如图4-3（e）所示，

5、且取x的奇函数。对原来的载荷进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中（n=0，1，2，…），而（n=1，2，…）于是，，-30-，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么。图4-4习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的，周期为,其中。在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的（a）在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下：，其中（n=0，1，2，…），而（n=1，2，…）于是

6、，，，-30-其中据外力平衡得。（b）设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数。-30-（1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有对任何Y值都成立，于是。所以应力函数为其中。相应的应力分量是：（c）（d）（e）（2）上、下边的剪应力为零，即得（f）（g）（3）上边界正应力和（a）式得（h）-30-（4）下边界正应力和（b）式得（i）由（f）、（g）、（h）、（i）四式中项和项对应的系数相等（其中）得方程组从上述方程组中解出然后代入（c）、（d）、（e）三

7、式中得到新坐标系XoY下的应力。再进行如下转化：因为c远小于，可以认为，即周期可为2。然后以代入新坐标系XoY下的应力，将新坐标系XoY下的应力转化为旧坐标系xoy下的应力。习题5、已知复应力函数，式中c为实常数，试求其所代表的应力状态。解：设应力函数。设。据第一、第二应力组合公式-30-得，所以。它可表示为一个矩形板纯弯曲纯的应力状态。如图4-5所示，设梁宽为1，其中弯矩图4-5图4-6θ习题6、如图4-6所示，无限大板中的一点作用有集中力P，试用复势求解板中的应力和位移。解：设，而据第一应力组合。现集中力P作用在坐标原点O，而原点O是

8、复势的孤立奇点，应将原点挖去一个小圆域而形成多连通域。则复势应为。其中外力。而现在为平面应力状态，，为材料的泊松比。故复势-30-（a）将和代入(a)式得（b）（1）求应力分量在极坐标中，，，