全称量词与存在量词(全部)

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1、1.4全称量词与存在量词【学习目标】1、理解全称命题和特称命题的含义，2、能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．3、能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．【重点与难点】重点：理解全称量词与存在量词的意义。难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；问题引入：下列命题中含有哪些量词？下

2、列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x+1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等。一.全称量词:全称命题举例：命题符号记法：命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量x的语句用p

3、(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。三、新知建构，典例分析全称命题所描述的问题的特点：给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。例.下列命题是否是全称命题？（1）每一个三角形都有外接圆；（2）一切的无理数都是正数；（3）实数都有算术平方根.注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要省略全称量词。例1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2）x∈R，x2＋1≥1；（3）对每一个无理数x，x2也是无

4、理数；下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x+1=3；(4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。二.存在量词:特称命题举例：命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。特称命题“存在M中的

5、一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。三、新知建构，典例分析例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.全称命题、特称命题的表述方法：命题全称命题特称命题①所有的x∈M，p(x)成立②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成立④任选一个x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x0∈M，使p(x)成立②至少有一个x0∈M，使p(x)成立③对有些x0∈M，使p(x)成立④对某个x0

6、∈M，使p(x)成立⑤有一个x0∈M，使p(x)成表述方法二.含有一个量词的命题的否定:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.全称命题的否定是特称命题.三、新知建构，典例分析一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:探究否定:1)所有实数的绝对值都不是正数;2)所有平行四边形都不是菱形;3)特称命题它的否定从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题特称命题的否定是全称命题.三、新知建构，典例分析例3写出下列全称命题的否定,并判断真假：（1）

7、p:所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p:对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.例4写出下列特称命题的否定,并判断真假：（1）p:；（2）p:有的三角形是等边三角形；（3）p:有一个素数含有三个正因数.总结：判断全称命题“x∈M,p(x)”是真命题的方法判断全称命题“x∈M,p(x)”是假命题的方法需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可(举例说

8、明).总结：判断特称命题“x0∈M,p(x0)”是真命题的方法判