函数的单侧导数与导函数的左右极限

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1、函数的单侧导数与导函数的左右极限摘要：本文通过例子讨论函数的单侧导数与导函数的单侧极限的区别，给出相应的结论，并引用一个重要的定理——导数极限定理介绍了两者的关系，在此定理的证明过程中简单的解释了用罗比达法则求极限时失效的原因，并在此基础上，以定理的形式给出了函数的单侧导数与导函数的单侧极限相等的充分条件。关键词：右(左)导数导数的右（左）极限关系区别UnilateralDerivateofFunctionandtheUnilateralLimitofDerivedFunctionAbstract:Thispaperdiscussedthedifferencesbetweentheun

2、ilateralderivateandtheunilaterallimitofderivedfunctionbysomeexamples.Andputforwardthecorrespondingconclusion.Bycitinganimportanttheory--thelimitofderivative,introducedtherelationshipbetweenthem,andgiveabriefexplanationwhyL'Hospitallosesitsvalueonsolvingtheproblemofthelimitoffunctionintheprocesso

3、fprovingthetheorem.Afterthis,Wefindasufficientconditionabouttheunilateralderivateisequalledtotheunilaterallimitofderivedfunction.Keywords:TheRight(Left)DerivativetheRight(Left)LimitofDerivedFunctionRelationshipDifference0.引言10在很多实际问题中，人们不仅要研究变量的变化规律，而且要研究变量变化的快慢程度。如研究物体运动的速度、研究工农业总产值的增长速度等等。导数正是

4、研究变量变化快慢的有效工具。导数反应了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率。它使得人们能够使用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的问题，所以在各领域有着极其广泛的应用。为了更好的应用导数去解决实际问题，我们需要进一步的研究导数的一些性质和特点，而单侧导数和导数的单侧极限是研究导数的一个重要方面。单侧导数和导数的单侧极限是微积分中两个重要的概念，在求分段函数的导数、函数在端点处的导数、傅里叶级数中都有其广泛的应用。本文就来讨论一下单侧导数与导数的单侧极限的区别与联系，并介绍分段函数的导数、函数在端点处的导数的一种求解方法。文中引用了相关的参考文献，其中文献[1

5、]、[2]介绍了单侧导数与导函数的单侧极限的定义，[3]-[6]介绍了两者的区别与联系及相等的充分条件，[7]-[10]介绍了分段函数的导数、函数在端点处的导数的求解方法，并举例运用了此方法。1.单侧导数与导函数的单侧极限的定义定义1：由于，由极限存在的定义，函数在处可导的充分必要条件是相应的左右极限和存在且相等，我们把他们分别称为在处的左导数和右导数。定义2：符号表示函数在点处导函数的右（左）极限，即.2.单侧导数与导函数的单侧极限的区别函数的单侧导数与导函数的单侧极限是两个完全不同的概念，微积分的初学者往往认为因此在求分段函数在分段点处的导数、傅里叶级数或函数在区间端点处的导数时往

6、往不能得到正确的结果，在一般的情况下，两者并没有必然的联系（方便起见下面以函数的右导数与导函数的右极限为代表说明）。我们知道，如果函数在点处可导，则在点处的右导数肯定存在。这一点是毫无疑问的，而函数在点处的导函数的右极限存在，则说明函数在点处的某右邻域（）内的每一点都可导，但需要注意的是函数在点处却未必可导。这一个小小的细节往往被一些学生甚至资历较高的老师所忽视。我们先看一个例题。例1设函数，判断在是否可导。10错误解法：当时，当时，当时，即故正确：但是不存在故不存在，即在处不可导。从这个例题中可以看出，与并没有必然的联系。为了更深入的探讨两者之间的关系，我们来看几个具体的例子，从这些

7、例题中摸索其中的内涵。例2设函数求与解：当时，故而不存在故不存在，例3设函数解：当时，故不存在10而因此不存在，例4设函数解：故在处不可导。又故所以，但在处不可导。例5设函数解：当时，10故而同理，故在处可导。所以，且在处可导。由上面5个例子，我们很容易发现，函数的右导数与函数的导函数的右极限没有必然的联系，即与可能一个存在，另一个不存在，如上面的例2和例3;也可能两者都存在但不相等，如例4;也可能两者都存在且相等如例5.3．单侧导数与导函数的