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《初中数学竞赛精品标准教程附练习17：奇数、偶数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（17）奇数 偶数一、内容提要1．奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。如果n是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。2．奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数 或整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3．奇数偶数的运算性质： 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
2、 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。二、例题例1求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0 求证：n是4的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn根据题意得如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x
3、2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。所以n是4的倍数。例3己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；若方程的整数解x是偶数，那么ax23,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方
4、程的解不可能是奇数，也不能是偶数，∴方程ax2+bx+c=0没有整数解(以上的证明方法是反证法)例4求方程x2－y2＝60的正整数解 解：(x+y)(x－y)=60，60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数因此x,y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组 解得 ∴方程x2－y2＝60的正整数解是 三、练习171．选择题①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（ ）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数②求方程85x－3
5、24y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） （A）（B）（C）（D）2．填空：①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿⑤能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿3．任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4．试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由5．求证：两个連续奇数的平方差能被8整除6．试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7．求方程
6、（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解8．方程19x+78y=8637的解是()(A)(B)(C)(D)39.十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值练习17参考答案：1.①B，②D2.①210，②45，945③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数4.∵左边2，10、都是偶数，x.y不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-17.∵两个整数的平方和5为，只
7、有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5可得四个方程组，解得8.(D)9.a=9，b=2；a=2，b=6；a=5，b=9。袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃
8、莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄
