量子力学复习题答案.pdf

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1、一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。答：束缚态：粒子在一定范围内运动，r→∞时，ψ→0。能级分立。非束缚态：粒子的运动范围没有限制，r→∞时，ψ不趋于0。能级分立。2.简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。3.用球坐标表示，粒子波函数表为ψ(r,θ,ϕ)，写出粒子在立体角dΩ中被测到的几率。∞22解：P=dΩ∫ψ()r,θ,ϕrdr04.用球坐标表示，粒子波函数表为ψ(r,θ,ϕ)，写出粒子在球壳(r,r+dr)中被测到的几率。π2π22解：P=rdr∫

2、sinθdθ∫ψ()r,θ,ϕdϕ005.用球坐标表示，粒子波函数表为ψ(r,θ,ϕ)。写出粒子在(θ,ϕ)方向的立体角dΩ中且半径在0

3、y)0中运动，波函数为ψ(x)，写出ψ′(x)的跃变条件。+−2mγ解：ψ′0()−ψ′0()=−ψ)0(2Zhh10.何谓几率流密度？写出几率流密度j（r,t）的表达

4、式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。hiZ**j(r,t)=−()ψ∇ψ−ψ∇ψ2m11.写出在σ表象中的泡利矩阵。z⎛01⎞⎛0−i⎞⎛10⎞解：σ=⎜⎟,σ=⎜⎟,σ=⎜⎟x⎜10⎟y⎜i0⎟z⎜0−1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠12.电子自旋假设的两个要点。h解：（1）电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：±Z2；h（2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即内禀磁矩e⎛e⎞gs===2⎜取为单位⎟自旋mc⎝2mc⎠轨道磁矩eg===1l轨道角动量2mc13.量子力学中，一个力学量Q守

5、恒的条件是什么？用式子表示。∂Q解：有两个条件：=,0[Q,H]=0。∂t214.（L,L）的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？z22解：(L,L)的共同本征函数是球谐函数Y(θ,ϕ)。zlm22LY(θ,ϕ)=(ll+)1ZY(θ,ϕ,)LY(θ,ϕ)=mZY(θ,ϕ)lmlmzlmlm15.写出电子自旋s的二本征态和本征值。zZ⎛1⎞Z⎛0⎞解：s=,α=χ(s)=⎜⎟；s=−,β=χ(s)=⎜⎟。z12z⎜0⎟z−12z⎜1⎟2⎝⎠2⎝⎠16.解：[x,p]=0[z,p]=iZ[L,L]=−iZL[y,L]=iZxyzxzyz[]2[]

6、[]L,Lz=0σy,σx=−2iσzLy,pz=iZpxhh⎛ψ(r,Z/)2⎞17.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ(r,sz)=⎜⎜h⎟⎟，⎝ψ(r,−Z/)2⎠h23h2准确叙述ψ(r,Z/)2及∫drψ(r,−Z)2/分别表示什么样的物理意义。h2h解：ψ()r,Z/2表示电子自旋向上（sz=Z2）、位置在r处的几率密度；3h2drψ()r,−Z2/表示电子自旋向下（s=−Z2）的几率。∫zhhh218.二电子体系中，总自旋S=s+s，写出（S,S）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。12z2解：（SS,）的归一化本征态记为χ，则zSMS1自

7、旋单态为χα=−[](1)(2)ββ(1)(2)α002⎧χαα=(1)(2)11⎪⎪1自旋三重态为⎨χα=+[](1)(2)ββ(1)(2)α10⎪2⎪⎩χββ11−=(1)(2)19.何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为2(j+)1条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。++20.给出一维谐振子升、降算符a、a的对易关系式；粒子数算符N与a、a的关系；哈密顿量H用N3

8、+或a、a表示的式子；N（亦即H）的归一化本征态。解：++⎛+1⎞⎛1⎞[a,a