34函数增减性

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1、第四节函数单调性的判定法教学目的：1.使学生掌握用导数判断函数的单调性的方法；2.利用单调性证明不等式。教学重点：判断函数的单调性、证明不等式。教学过程：一、复习函数单调性的定义二、讲解新课：单调函数是函数中的一个重要部分，从图形上看，单调增加（减少）函数是一条沿轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的），即单增，则，若单减，则。下面来证明反之亦成立，设在上连续，在内可导，在内任取两点，在区间上应用Lagrange中值定理，故在内至少存在一点，使得：，因为与同号，（i）若在内，，则有，即，此

2、时，单增；（ii）若在内，，则有，即，此时，单减；综和上述正反两方面，得：判定法：设在上连续，在内可导，则：（1）在上单增的充要条件是；（2）在上单减的充要条件是。注1：此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指：若，则有“”或“”或称“不减”或“不增”。而对时，有“”或“”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。2：若在内有，则在上严格递增（严格递减）；严格递增（i）；（ii）在任何子区间上。3：可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。【例1】证明：当时，。证明

3、：令所以，当时，，所以为严格递增的，所以。【例2】讨论单调性。解：（Ⅰ）当时，所以在上严格递减；（Ⅱ）当时,所以在[-1，1]上严格递增；（Ⅲ）当时，所以在上严格递减。【例2】中的通常称为单调区间并且称为单调增加区间，[-1，1]称为单调减少区间，而二点恰为单调区间的分界点，不难知。一般讲，在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，便得在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类：其一是导数等于0的点，即的根；其二是导数不存在的点。事实上，只要在定义域内连续，且只在有限n个点处导数不存在，

4、则可用分点将区间分为若干个小区间，使得在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。【例3】求的单调区间。解：在（-∞，+∞）上连续，当X≠0时，再令y′=0，解得，X=1为导数等于0的点，又当X=0时，函数的导数的存在，所以X=0为不可导的点，现用X=0和X=1作为分点来将（-∞，+∞）分为（-∞，0），[0，1]和[1，+∞]三个区间。（Ⅰ）在（-∞，0）上，，所以在上为单增函数；（Ⅱ）在（0，1）上，，所以在[0，1]上单减；（Ⅲ）在

5、上，，所以在（1，+∞）上单增。【例4】方程（其中a＞0）有n个实根？解：设令，用点将其定义域（0，+∞）分为（0，1/a）和[1/a，+∞]二个区间，且（Ⅰ）当时，，所以在是单增的，故当时，。（Ⅱ）当时，，所以在上为单减的，故当时，。由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当时，即对，下面来讨论有几个实根：（a）若1+lna＞0，即a＞1/e时，＜0，即方程无解。（b）若1+lna=0，即a=1/e时，，且仅在X=1/a=e时，有=0，此时，方程有唯一的解。（c）若1+lna＜0，即0＜a＜1/e时，f（1/a）＞0，又在（0，1/a

6、）上，单增，且，，故在（0，1/a）上，函数与x轴有一个且只一个交点，即方程的根，又在上，单减，且，故在上，与X轴有一个且只有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。三、课堂练习：1判定下列函数在指定区间上的单调性：（1），[0,]；（2），（，+）；2．证明：当x>1时，四、布置作业：