2002考研数学一试题及答案解析

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1、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)=.(2)已知函数由方程确定,则=.(3)微分方程满足初始条件的特解是.(4)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则=.(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则＝.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面4条性质:①在点处连续;②在点处的两个偏导数连续;③在点处可微;④在点处的两个偏导数存在．若用“”表示可由性质推出性质,则有(A

2、)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.(2)设,且,则级数(A)发散.(B)绝对收敛.(C)条件收敛.(D)收敛性根据所给条件不能判定.数学(一)试题第13页(共13页)(3)设函数在内有界且可导,则(A)当时,必有.(B)当存在时,必有.(C)当时,必有.(D)当存在时,必有.(4)设有三张不同平面的方程,,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则(A)＋必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的概率密度.(C)＋必为某一随机变量

3、的分布函数.(D)必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.数学(一)试题第13页(共13页)四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限.五、(本题满分7分)计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记(1)证明曲线积分与路径无关;(2)当时,求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在

4、的平面为坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?数学(一)试题第13页(共13页)若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,,如果,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时,

5、证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为对独立地重复观察４次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体的概率分布为0123其中是未知参数,利用总体的如下样本值数学(一)试题第13页(共13页)求的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对两次求导得①②以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).分离变量得积分得即(对应);由时得于是数学(一)试题第13页(共13页)

6、积分得.又由得所求特解为(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则依题意,有而即二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.按定义考察部分和数学(一)试题第13页(共13页)原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意发散发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反

7、证法.假设,则由拉格朗日中值定理,(当时,,因为);但这与矛盾(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和,且中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故,,且中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因数学(一)试题第13页(共13页)对于选