初级中学数学竞赛精品标准教程及练习：不等关系

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初中数学竞赛精品标准教程及练习(37)不等关系一、内容提要1.不等式三个基本性质：①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。设a>b,不等式组的解集是x>a的解集是xa，可知　a≠0，a+b≠0两边除以得，a+b>显然不等式要成立，只有，故a<0由此得a+b>－，显然只有a+b>0,又∵a<0,　　故b>0∴a,b的符号是：a<0,b>0例3.已知：O是△ABC内的一点求证：＜＜1分析：本题实质是要证明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA①且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②延长BO交AC于D，∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC）　∴＜＜1例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D求证：CA＋CB＜AB＋CD5 证明：设CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的对边根据勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2①根据三角形面积公式ab=ch∴2ab＝2ch②　①＋②：　（a+b）2<(c+h)2∵a+b>0,c+h>0∴a+b0,a－c<0,c－b>0(直角三角形中斜边大于任一直角边)∴(a+b)－(c+h)＜0∴(a+b)＜(c+h)再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB－CB在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两等腰△BCE和△CDF顶角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴四边形CDEF是圆内接四边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AFBC，求证∠A<∠B7.已知△ABC中，三条角平分线AD，BE，CF相交于一点O，作OH⊥BC于H，求证∠COH>∠CAO8.已知：AD，BE，CF三条高相交于一点H，求证：9.已知：△ABC中，∠A>90，AB∠B，则∠A>∠D11.在△ABC中，①若AD是中线，则∠DAC>DAB②若AD是角平分线，则AB+CD>AC+BD12.已知：△ABC中AB=AC，点这点P是三角形内的一点，∠PBC>∠PCB求证：①∠PAB<∠PAC②∠APB>∠APC13.已知：△ABC中M是BC的中点，D，E分别在AB，AC上，∠DME=Rt∠求证：BD+CE≥DE14.△ABC中，AC≥2AB，则∠B>2∠C15.已知：正有理数a1是.的一个近似值，设a2=1+5 求证：介于a1和a2之间提示：设>a1　　证a2　　证-24.1AB,PB+PC>BC,PC+PA>AC得PA＋PB＋PC＞1.5过点P作EF∥BC，∵∠AEP＝∠AFP＞∠APE，∴PA＜AEPB＜BE＋EP，PC＜CF＋FP……6.作CE∥AD交AB于E…8.　直角三角形斜边大于任一直角边6.证明　AD＜AE　　　7..①延长AD到E使DE＝AD，②在AB上取AE＝AC12.　运用内容提要的3④13.延长DM到F，使MF＝DM14.延长CB到D使BD＝AB，15.设a1>,则＝，……5