函数的最值知识点总结与经典题型归纳

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1、函数的最值　知识梳理1.函数最大值一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最大值.2.函数最小值一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最小值.注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．3.函数的最值与其单调性的关系．（1）若函数在闭区间上是减函数，则在上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；（2）若函数在闭区间上是增函数，则在上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．4．二次函数在闭区间上的最值．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出的草图

2、，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．例题精讲【例1】求函数在[0,3]上的最大值和最小值．解：因为函数在[0,3]上单调递增所以在[0,3]上的最大值为；在[0,3]上的最小值为；【例2】求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：函数的图象如下图所示，所以在区间[2，6]上单调递减；所以在区间[2，6]上的最大值为；最小值为.5题型一利用图象求最值【例3】求下列函数的最大值和最小值.（1）（2）解：（1）二次函数的对称轴为x＝－1.画出函数的图象，由下图

3、，可知：当时，；当时，.所以函数最大值为4，最小值为.（2）作出函数图象，如下图，可知：所以函数的最大值为3,最小值为－3.题型二利用函数单调性求最值【例4】求函数在上的最大值和最小值.分析：先判断函数的单调性，再求最值.解：因为所以因为所以，所以，所以,所以在区间上单调递减；所以求函数在上的最小值为，最大值为.题型三函数最值的应用5【例5】已知函数，（1）当时，求函数的最小值.（2）若对任意的，恒成立，试求的取值范围.解：（1）当时，设则因为，所以，所以，所以在区间上单调递增所以的最小值为.（2）对恒成立⇔对恒成立⇔对恒成立．令，其在上是减函数，∴当时，.因此.故实数的取值范围是．

4、课堂练习u仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对2．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有(　　)A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)5D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)3.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]4．

5、函数y＝

6、x－3

7、－

8、x＋1

9、有(　　)A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在5．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．6．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则

10、m－n

11、的最小值为________．7.已知函数，若时，求函数的最值.8.求函数在区间上的最大值和最小值.9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].5（1）当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求使函数y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的a的取值范围．5