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1、《数学教学通讯》年下重庆··徐合除孩和因式定理四川省乐山市实验中学胡同祥宋杨,向大家介绍一些这方面的初步知识供大家学习时参.一、知识要点和基本方法考.综合除法和因式定理、余式定理是研究多项式除1用记号fx()表示多项式,法的有力工具,在数学竞赛中具有广泛的应用.本专题关于x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示例户户户户己矛之公之砂砂、砂尸了洲尹沪尸砂言之卜巴偏吧补月沦之侣吧嘴妞协巴令之今之公之公之写竺公之公之公之矛己矛己今己个巴公之公之孕己今乙矽魂个己个己补己公心兮之常嗯卜乙公心个各公己布冈少卜少会心宁心石闪夕补各夕心今xa,xa二例巧因式
2、分解尸+Zxy一8少+Zx+14y一若=是多项式f(x)的一个根则一是f()的,,,一个因式利用这一知识往往可通过观察多项式,.:因扩Zxy一8二一Zy)+4y)解+少x(x(故设系数的特点进行分解xax,xZx夕223原式=(一2夕+)(+4少+b)即+Z一8夕例巧分解因式扩+分一ax一5砂+x:15`3:,+Z+14y一3解+2xl一1一5xl+3=0=2,+x夕2axaa:.xZ一8少+(+b)+(4一Zb)夕+b一1是原式的一个因式a2比较两过··+b=2.’原式=(x一1)(’x+3ax十2x一3x一3)a43xl忿,…4一Zb声14
3、又1+3x1+2一3xl一3=0.{ab=一3:x一1是’x+3砂+2x2一3x一3的一个因式(a=3x2x3x2x3)解得{_:’原式=(一1)(+4+6+tb=一l1)3+2,又(一4X(一1)+6X(一1)+3~0故原式~(x一Zy+3)x(十4y一l).:x十1是x3+4砂+6x十3的一个因式2.轮换对称法:’原=(x一1)2(二+1)(xZx式+3+3)6a3+3c,a例1分解因式①b+一3阮:,评注这种方法往往需要观察系数特点从而确定:a、、:,分析此式是关于b的三次齐次对称式若能,.一个因式然后用多项式的竖式除法确定另一因式,`分
4、解则必为一次齐次对称式a(+b十)和二次齐次:,从以上可以看出在分解因式时首先应考虑使用aZ一卜ZcZ_卜k(ab+cb+ac,k对称式[b+)之积是待定,基本方法分解后或分解不凑效时再考虑运用转化方.系数法将其转化后使用基本方法分解.最后才考虑使用特解:设原式a+b+。){aZ+b,+cz·+k(ab二(〔〕.殊分解方法进行分解,a,+阮+ac)}比较两边同类项bc的系数得k二一l.:a。aZ,eZab一cb一原式=(十b+)(+b+一练:习分解因式ac)一x,x2一3了+l+2分;①尸②“二少(x,一少2)+yz(yZ一22)+zx(22一
5、x,)②(x:+夕2一22)2一4x2;分析:此式是关于x、y、z的,③尹四次齐次轮换式注意aa;(+1)一b(b+l),,④到x~y时原式=o则原式有因式x一y根据轮换性二2+5+6少2+x+3夕,,z,zx,y⑤砂知亦有因式y一一而(x一)(y一幻(z一x)(xZ+3x一2)(xZ++4)一16;是三次轮换式,…原式还有一个一次齐次轮换因式⑧x3aab)(aa2,(+b一Z+b一2)+(1一b)k(x+..⑦y+2)于是有如下简捷解法(l+x+x,+二`),一x,;⑨:二y+一解设原式k(x+)z(x一刃(y)z(z一a`一11a2;+1x
6、,⑨)比较两边护y的对应系数得k=一1a.a(6+llb+4)+b(3b一l)一2.L:原式二一(x十y+)z(x一y)(y一)z(z一x)3.求根分解法7.0·《》(2200重庆数学教学通讯年下,“一”(如用,)表示代数式2扩+x+3可记为f(二)~须卜。补足;商式中除余数外的数也是按降幕排列的.2尸+,;x,十3这时j(一1)表示当一一1时代数式商式的系数.2户二斗一3,二Zx(一l)“一卜(一1)(2)必须把除式的常数项改变符号后再计算+的值即f(一l),.2一3+3=4同样地f(田二2x0卜。+3=3等等用余数定理,,f(二)可以代表关
7、于二的条件不同的代数式但在同一多项式f(、)除以(二一a)所得的余数等于厂a(),、,个问题中不同的代数式要用不同的字母表,)(x)一3二一5二十3)所得的余数为:示如f(如fx2一2除以(,.g(x)r(x)3)=3X(一3)“它等f(一十sx(一3)一2二一3.8.2综合除法4.因式定理,.,为了搞清楚综合除法的定义我们先来看一个例若多项式f(x)能被x(一a)整除即f〔二)有个:二一,;,,二“子因式(a)则f(a)=。反之若f(a)二o则一一、.z3二干4x3一7沈2一5)令(r一3).例计算(必为多项式f(x)的一个因式由此可以得出因
8、式定理:,·.一解类似多位数的竖式除法一元多项式相除也可是余数定理的一个特殊形式如动一乙3十7尸已知f(,一,用竖式演算即潇k含有因式2二十3求.k4
