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时间:2018-11-09
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1、word资料下载可编辑极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;;;
2、等等(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2.极限运算法则定理1已知,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)(2)(3)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。3.两个重要极限(1)(2);说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。例如:,,;等等。4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当时,下列函数都是无穷
3、小(即极限是0),且相互等价,即有:专业技术资料word资料下载可编辑~~~~~~。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时,~;~。定理4如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。5.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导,且的导数不为0;(3)存在(或是无穷大);则极限也一定存在,且等于,即=。说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不
4、能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。6.连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有。7.极限存在准则定理7(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知为三个数列,且满足:(1)专业技术资料word资料下载可编辑(2),则极限一定存在,且极限值也是a,即。二、求极限方法举例1.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1解
5、:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例2解:原式=。例3解:原式。2.利用函数的连续性(定理6)求极限例4解:因为是函数的一个连续点,所以原式=。3.利用两个重要极限求极限例5解:原式=。专业技术资料word资料下载可编辑注:本题也可以用洛比达法则。例6解:原式=。例7解:原式=。1.利用定理2求极限例8解:原式=0(定理2的结果)。2.利用等价无穷小代换(定理4)求极限例9解:~,~,原式=。例10解:原式=。注:下面的解法是错误的:原式=。正如下面例题解法错误一样:。例11专业技术资料word资料下载可编辑解:,所以,原式=。(最
6、后一步用到定理2)1.利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。例12(例4)解:原式=。(最后一步用到了重要极限)例13解:原式=。例14解:原式==。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)例15解:例18解:错误解法:原式=。专业技术资料word资料下载可编辑正确解法:应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。例19解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式=(分子、分母同时除以
7、x)=(利用定理1和定理2)1.利用极限存在准则求极限例20已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则1极限存在,设。对已知的递推公式两边求极限,得:,解得:或(不合题意,舍去)所以。例21解:易见:因为,所以由准则2得:。专业技术资料
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