贝氏三角刻面片若干性质的研究

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1、贝氏三角刻面片若干性质的研究　　摘要：计算机图形学是近四十年来发展迅速、应用广泛的一门新兴学科。曲面造型技术是计算机图形学中研究的重要内容之一，它在实际工作中有着非常广泛的应用。本文重点研究了二次及三次Bezier三角曲面凸性的充分必要条件，最后总结出了n次Bezier三角曲面性质研究的一般思想和方法。　　关键词：Bezier三角曲面；B-网；方向导数　　【中图分类号】O241　　曲面造型技术是计算机图形学和计算机辅助几何设计（CAGD）的一项重要内容[1-2]，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它肇源于飞机、船

2、舶的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于六十年代奠定理论基础。经四十多年发展，现在它已经形成了以Bezier和B样条方法为代表的参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值（Interpolation）、拟合（Fitting）5、逼近（Approximation）这三种手段为骨架的几何理论体系[3-6]。随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维

3、数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型在近几年来得到了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差[7-8]。　　Bezier曲线它在实际工作中有着非常广泛的应用，把Bezier曲线推广为曲面的途径有二，其中之一就是在三角形上的推广，这样我们就得到了Bezier三角曲面。由于曲面构造技术的重要性与实用性，就迫使我们必须对三角域上的Bezier曲面的性质进行研究。　　一、预备知识　　我们通过坐标三

4、角形和Bernstein基函数的概念，给出定义1.1：任意给定一组数bi，j，k，i+j+k=n，称为坐标三角形T上的n次Bezier曲面片，也可以称为Bezier三角曲面。　　定义1.2：设T是一个三角形，n为自然数，用三组平行直线将T分成n×n个全等的小三角形，组成T的n次剖分，记为Sn（T）。这些小三角形称为Sn（T）的子三角形，任意一个子三角形的顶点叫做剖分Sn（T）的结点，将在Sn（T）的每一个子三角形上为线性并且在结点Pi，j，k上取值为bi，j，k的分片线形的连续函数称为Bezier三角曲面的控制网，或者称为B-网。　　定理1.

5、3：Bezier三角曲面具有下面三条基本性质　　（a）定义与原点选择的无关性　　（b）性质仿射不变性　　（c）凸包络性　　二、主要结论5　　2.1二次Bezier三角曲面的凸性　　研究n次Bezier三角曲面的凸性，我们先从二次的Bezier三角曲面的凸性开始，我们分析一个曲面F若为凸的，则这个曲面上所有曲线也是凸的。　　设和是T上的任意两点，那么在线段P0P1上的点P的面积坐标为；其中0≤α≤1。　　作辅助函数　　现在计算　　令ξi=ui0-ui1i=1，2，3　　所以有　　又因为故ξ3=-ξ1-ξ2　　令k=α（1-α），F化为矩阵形式　

6、　其中，　　这样我们就将二次Bezier三角曲面的凸性的判断，转化为研究辅助函数F的正性，而F≥0的充分必要条件是实对称矩阵　　是正定的，即　　这样我们就得到了二次Bezier三角曲面为凸的由Bernstein系数表示的充分必要条件。　　2.2三次Bezier三角曲面的凸性5　　我们已经利用凸函数的定义得到了二次Bezier三角曲面凸的充分必要条件，接下来我们分析三次的Bezier三角曲面的凸性。对于二次以上的Bezier三角曲面，在用凸函数的定义推导时，不再具有像二次Bezier三角曲面那样好的形式，所以我们将引入方向导数这个概念来分析Be

7、zier三角曲面的凸性。　　设与是T上的任意两点，那么线段P0P1上的点的面积坐标是　　其中0≤t≤1，将Bezier三角曲面限制在线段P0P1上，得到了Bezier曲线　　其中0≤t≤1，我们不难看出上式一个关于单变量t的函数，则这一段曲线的凸性，便可以通过对t的二阶微商的正性来刻画。　　将上式对t求二阶导函数得，我们利用链式法则得到，　　当然我们仍有　　将ξ3=-ξ2-ξ1代入上式　　我们为了可以使推导过程简便，令　　这样我们就得到　　我们知道上式为正的充分必要条件是矩阵　　为正定的，即　　这样我们就得到了3次Bezier三角曲面为凸的充

8、分条件。　　三、总结　　对于n次Bezier三角曲面，我们利用移位算子和方向导数得到，如果n阶B-网是凸的，那么它所对应的三角曲面在三角形上也是凸的。当然B-网的凸