《晶体的结合》word版

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第2章晶体的结合习题1.有一晶体,平衡时体积为，原子间相互作用势为.如果相距为r的两原子互作用势为证明(1)体积弹性模量为K=(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有N个原子,则总能量为U(r)=.由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为U=设最近邻原子间的距离为R则有R再令AA得到U=平衡时R=R,则由已知条件U(R)=得由平衡条件得.由(1),(2)两式可解得利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K=得K===由于因此于是K=(1)由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为若令15 ,则N个惰性气体分子的互作用势能可表示为.由平衡条件可得R进一步得代入K=并取m=6，n=12，V得K=.对体心立方晶体有A于是1.一维原子链,正负离子间距为,试证:马德隆常数为1n2.[解答]相距的两个离子间的互作用势能可表示成设最近邻原子间的距离为R则有,则总的离子间的互作用势能U=.基中为离子晶格的马德隆常数,式中+;-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有利用正面的展开式1n(1+)并令得=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为1n22.计算面心立方面简单格子的和(1)只计最近邻;(2)计算到次近邻;(3)计算到次近邻.[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O的最近邻标号为2的原子是O原子的最近邻,标号为3的原子是O原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:由图2.6面心立方晶胞15 得(1)只计最近邻时，.(2)计算到次近邻时(3)计算到次次近邻时由以上可以看出,由于中的幂指数较大,收敛得很快,而中的幂指数较小,因此收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的和的数值分别是14.45与12.13.1.用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.[解答]马德隆常数的定义式为,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为图2.7二维正方离子晶格顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4),对参考离子库仑能的贡献为因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为再选取个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为而边棱上的离子对库仑能的贡献为顶角上的离子对为库仑能的贡献为这时算出的马德隆常数为15 图2.84个埃夫琴晶胞同理对个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为对个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为当选取n个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为其中1.用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数(1)只计最近邻(2)取八个晶胞[解答](1)图2.29是CsCl晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29是将Cs双在体心位置的结构,图2.9(a)是将Cl取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1.15 图2.29（a）Cs取为体心的CsC1晶胞,(b)C1取为体心的CsC1晶胞(2)图2.10是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是,它们与参考离子的距离为它们对马德隆常数的贡献为-图2.108个CsCl晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是它们与参考离子的距离为它们对马德隆常数的贡献为-埃夫琴晶胞角顶上的8个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是它们与参考离子的距离为2R它们对马德隆常数的贡献为-,由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数为了进一步找到马德常数的规律,我们以计算了由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665.马德隆常数的不收敛,说明CsCl晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.为了便于计算,通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs作参考离子,由于埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为(p是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞是由(2p)个CsCl晶胞所构成,埃夫琴晶胞最外层的离子与参考离子同号,而边长为(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)个CsCl晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以C1作参考离子也有同样的规律,设参考离子处于坐标原点O,沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z图2.11示出了z轴)看去,与参考郭同号的离子都分布在距O点的层面上,其中是大于等于1的整数,与O点离子异号的离子都分布在距O点(-0.5)的层面上,图2.11(a)示出了同号离子层,图2.11(b)示出了异号离子层.图2.11离子层示意图(a)表示同号离子层,O离子所在层与O离子所在层相距15 (b)表示异号离子层,O离子所在层和O离子所在层相距(-0.5)当CsCl埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不能忽略.对于由(2p)个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有6*(2p)个与参考离子同号的离子,它们与参考离子的距离为(1/2)~(),它们与参考离子的库仑能为量级,这是一个相对大的正值.对于由(2p+1)个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有6*(2p+1)个与参考离子异号的离子,它们与参考离子的库仑能为量级,这是一个绝对值相对大的负值,因此,由(2p)个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能,与由(2p+1)个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能都不能代表CsCl晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl晶胞、8个CsCl晶胞和27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知,CsCl埃夫琴晶胞体积不大时,这种现象已经存在.为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性,可采取以下方法,令由(2p)个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为，由(2p+1)个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为，则CsCl晶体离子间相互作用的库仑能可近似取作(1)因子1/2的引入是考虑除了(2p+1)个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外,其他离子间的库仑能都累计了两偏,计算和时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小的数,相应的马德隆常数应为(2)其中：是由(2p)个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值;由(2p+1)个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值.为简化计算,特选取晶胞边长为计算单位,由于所以(3)其中是某一离子到参点的距离与的比值.考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上,体积不同的正六面六个面上的离子分别计算.由(2p)个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时,由分析整理可得(4)由(2p+1)个CsC1晶胸构成埃夫琴晶胞时,(5)其中：(6)表示与O点距离为的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献,因为这些离子与参考离子同号,故到负号.、是离子在平面上的坐标,代表6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1)在角上(如E点),即=i且=i.时,=8；(2)在棱与坐标轴的交点(如F点)，=i且=0或=0且=0时,=6(3)在棱上的其他点(如H、I点)即不满足上述条件,且=i或=i.时,=12(4)在点,即=0且=0时,=615 (1)在除点外的面上的点(如J点),即不满足上述条件时，=24.(7)代表距O点距离为(-0.5)的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,因为这种些离子与参考离子异号,故取正号.,是离子在平面上的坐标,代表这6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1)在角上(如K点),即=i且=i.时,=8;(2)在棱下(如L、M点),即不满足不述条件,且=i或=i时，=12；(3)在面上(如N点)好不满足上述条件时,=24.表示在边长为2的晶胞最外层,即与参考离子相距的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,应取负号,与的不同在于的取值:(1)在角上,=/8;(2)在棱上,=/4;(3)在面上,=/2.表示在边长为2的晶胞最外层,即与参考离子相距(p+0.5)的离子层对马德隆常数的贡献,应取正号,与的不同在于的取值:(1)在角上,=/8;(2)在棱上,=/4;(3)在面上,=/2.表2.1给出了计算结果,给出的是由分别对应2p和2p+1的和求得的,实际上,和只需对应边长相近的埃夫琴晶胞即可,如取对应2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一样的收敛结果,由以上数据可见,马德隆常数随晶胞边长的增大而迅速收敛.该方法适用于NaC1结构以外离子晶体马德隆常数的计算.表2.21CsC1晶体结构马德隆常数2p2p+123.06480630.4396651.752235543.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.76267503003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.76267508003.1230248010.4023261.762675015 1.只计及最近邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为(1)最近邻(2)最近邻以外式中是常数,R是最近邻距离,求晶体平衡时,原子间总的互作用势.[解答]设离子数目为2N,以R表示第j个离子到参考离子i的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示为U=N(表示最近邻)=N其中为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子;Z为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R,由平衡条件得平衡时的总相互作用为2.设离子晶体中,离子间的互作用势为(1)求晶体平衡时,离子间总的相互作用势能(2)证明:其中是马德隆常数，Z是晶体配位数[解答](1)设离子数目为2N,以R表示第j个离子到参考离子i的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示U=N(表示最近邻)=N其中,为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子.Z为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R由平衡条件15 得=即.于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能=(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为=由上式可知8.一维离子链,其上等间距载有正负2N个离子,设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间,且为b/R,b,n是常R是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q,(1)试证明平衡间距下=(2)令晶体被压缩,使,试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c其中c=(3)求原子链被压缩了2时的外力[解答](1)因为离子间是等间距的,且都等于R,所以认定离子与第j个离子的距离总可表示成为是一整数,于是离子间总的互作用势能,其中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用.一维离子晶格的马德隆常数(参见本章习题2)为21n2.利用平衡条件得到b=,=.在平衡间距下.(2)将互作用势能在平衡间距附近展成级数15 由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为W=,其中利用平衡条件，将R=R，代入上式，得到W=.晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项=令c=(CGS)得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为.（3）设时外力为F,由于在弹性范围内，外力与晶格的形变成正比，所以F=,F=,其中为比例系数离子链被压缩过程中外力作的功W==.由于W=,所以离子链被压缩了时的外力为F=.9．设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及结合能的影响。[解答]NaC1离子间的互作用势为.如果晶体共含有N个原子，令=,R是最近邻离子间的距离，则总的互作用势能U=,式中.若平衡时R=R,由平衡条件15 得.利用体积弹性模量公式K=得K=.平衡时的结合能为.由于晶格常数与成线形关系,于是,当电荷加倍时,晶格常数,体积弹性模量以及结合能与原来值的比值为10．两原子间互作用势为当两原子构成一稳定分子时，核间距为3,解离能为4eV,求和.[解答]当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有.由此是平衡时两原子间的距离为,(1)而平衡时的势能为.(2)根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需用的能量，其值等于已知解离能为4eV因此得=4eV.(3)再将=3,1eV=1.602*10erg代入(1)(3)两式,得7.69*10erg•cm=1.40*10erg•cm.11．NaC1晶体的体积弹性模量为2.4*10帕，在2万个大气城压作用下，原子相互作用势能增加多少？晶格常数将缩小百分之几？（1帕=10个大气压）[解答]假定在外力作用下,晶体的形变为弹性形变，此时可将K视为常量，由《固体物理教程》（2.6）式K=,得P.式中=1个大气压,P=2*10个大气压,为晶体在压强为时的体积,15 由此得V=V及=V-V在弹性形变情况下,体积的相对变化率.因此,由《固体物理教程》(2.10)式P=,可知体积弹性械量K甚大于压强P,于是再根据,得相互作用势能增加量为=单位体积热能增加量为==1.67*10.设晶格常数为,则有,是一常数,于是.得晶格常数缩小的百分比为==2.8%.12.雷纳德一琼斯为,证明:r=1.12时势能最小,且;当r=时,说明和的物理意义.[解答]当时取最小值,由极值条件得于是有再代入u的表示式得,当r=时则有,由于是两分子间的结合能,所以即是两分子处于平衡时的结合能,具有长度的量纲,它的物理意义是,是互作用势能为0时两分子间的间距.13.如果离子晶体中离子总的相互作用势能为,求晶体的压缩系数,其中为常数,Z为配位数.15 [解答]压缩系数k等于体积弹性模量K的倒数,即.又.式中为平衡时相邻原子间的距离,由平衡条件,得,即.由以诸式得k=.14.取一立方体积元,以相对两面中点连线为转轴,列出转动方程,证明应力矩阵是一个对称矩阵.[解答]如图2.21所示,在弹性体内取一立方体积元,体积元边长分别为,C点的坐标是x,y,z.对于以前后两面中心AB为转轴的转动,上下表面上的应力形成了力偶,左右两表面上的应力也形成了力偶,体积元绕AB轴转动的转动方程为,图2.12正方体积元六个面上的应力基中是体积元绕AB轴转动的转动角,是体积元绕AB轴转动的转动惯量,其值为.由上式可知,当趋于0时,转动惯量更快地趋于0,于是转动方程化为因为应力的梯度不能突变,所以当趋于时,由上式可得同理可得15 .由此可知,应力矩阵.是一个对称矩阵15.六角晶体有5个独立的弹性劲度常数其他常数为零,取轴与x轴重合,取c轴为z轴,弹性波在xy平面内(任意方向)传播,试求(1)三个波速;(2)对应三种模式的质点的位移方向[解答]按照已知条件,六角晶体的弹性劲度常数矩阵为.弹性波的传播方向单位矢量,且有.同《固体物理教程》(2.70)式可求得克利斯夫(Christoffel)方程.由质点速度的系数行列式的值得到.由以上两式得到三个有效弹性常数.将代入克利斯托夫方程得将代入前两式,得到15 .如图2.13所示,设传播方向与x轴夹角为,则有于是得到.图2.13波的传播方向与质点运动方向平行即传播方向就是质点运动的方向,也就是说,对应是一纵波.将代入克利斯托夫方程,得将代入前两式,得到.上式对应的几何图像如图2.14所示,由图2.14可知,传播方向与质点运动的方向垂直,也就是说,对应一横波图2.14波传播方向与质点运动方向垂直将代入克利斯托夫方程,得前两式和的系数行列式的值等于,.因为,所以和的系数行列式的值不为0,即前两式中和的解必须都为0,因此,对应,质点速度只有,显然,这也是一个横波,质点运动的方向与传播方向垂直.15