初中数学竞赛中的高斯函数问题

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1、•獻脅活劫镙超讲雇鲁初中数学竞赛中的高斯函数问题姜照华(山东省枣庄市第二十九中学，277000)中图分类号：0174文献标识码：A文章纗号：1005-6416(2010)11-0002-04因此,[a16]=2206.例2(本讲适合初中)在初中数学竞赛中，经常出现含有取整符号［X］的问题.所谓的［*］，就是表示不海过实数*的最大整数，例如，［3.4］=3,［-2.7］=-3.这一规定最早为大数学家髙斯所使用，故［，］被称为髙斯函数.很明显，由规定直接可得：(1)当*是整数时，［幻•(2)当*不是整数时4-1<［*］<*•将两种情况合在一起，即是对任一实数4C有

2、*—1<［X］冬X.运用这一基本性质和髙斯函数的意义,可轻松地解决相关的赛题.1求单个高斯函数值+1(2008,“五羊杯”数学竞赛(初三))8+/2W8+“•+^/2008-的值(2008共出现了2008次).(2008,青少年数学国际城市邀请赛)【分析】尽管有2008次开平方运算，只要从里往外耐心地进行估算，规律自然会显现出来.解ifia=^2O08f72008+•••+(共n个2008,n=l，2,…)•由44

3、故452<2008+45<2008+a2<2008+46<46【分析】注意到a解设好2p2(0

4、<46,4510,且n是整数时,［心+1卜1】223(101-fe)101n(n+l)n(n+1)-21n+1)-2+fn(n-l)(n+2).1故（234ioi23k23(101-fc)10123(101-fc)101-1]9x1210x1348x51注意到

5、则3S:i(A+3)11912131101--一•k113A+314815?丄50360fI丄49319-V1I113S+V11103140+I193110=故519172<^-<30S<^<3.4o因此,[30S】=2.2求多个离斯函数值的和例4代数式[^1x2x3]+[《2x3x4]+…+[^2000x2001X2002]=()•(A)2000000(B)2001000(02002000(D)2003OOi(2000,“五羊杯”数学竞赛(初三))【分析】注意到和式中的每个加数都可以表示为[^(fc+l)(A+2)](为正整数).需对^^(fc+l)a+2)

6、进行怙计.解因P

7、-^_-

8、

9、<23.因此，［證］+从而，可以把]，[=22,101J’I101［首尾配对，共配成50对，每和为22.23x23x2^ioirIioi=22x50=1100.3解含高斯函数的方程•对的23X100iQl'例6方程心-3［4+7=0的解是（第21届“希望杯”数学邀请赛（初二））解方程6^3［x】+7=0可改写为6x+7[X]将其代人X-1<［幻分，得,6x+7_X—1<—-—^X.解此不等式组得-多7故W=-4或-3.6x+7所以,-4或-3.y-解得x=经检验，*=和-务均是原方程的解.例7方程［2xU［3幻的所有实数解为.（2010,全国初中数学联赛武汉

10、赛区预赛)不等式组，“放大”了，的取值