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《数值分析常用的插值方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、班级:专业:流水号:学号:姓名:常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插迮续函数，使得这条连续而线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在冇限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在6世纪，屮国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处珂和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。插值问题的提法是：假定区间［a,b)上的实值函数f(
2、x)在该区间上n+1个互不相同点xG，XIxn处的值是f(Xo)，f(xn)，要求估算f(x)在［a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数Co,Ci,……Cn的闳数类O>(Co,Ci，……Cn)中求出满足条件P(Xi)=f(Xi)(i=O,1,……n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的佔值。此处f(x)称为被插值函数，xo,xn称为插值结(节)点，O(C0,CP......Cn)称为插值函数类,上面等式称为插值条件，(Co,......Cn)屮满足上式的函数称为插值函数，R(x)=f(x)-P(x)称为插
3、值余项。求解这类问题，它有很多种插值法，其屮以拉格朗日（Lagrange）插位和牛顿（Newton）插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插位和样条插位。一.拉格朗日插值1.问题提出：已知函数y=在n+1个点‘X,，…，上的函数值y。，％，…，,求任意一点的函数值/oo。说明：函数y=可能是未知的；也可能是已知的，伹它比较复杂，很难计算其闲数值/00。2.解决方法：构造一个n次代数多项式函数來替代未知（或复杂）函数则用e（x'）作为函数位z（y）的近似值。设/^（X）=^）+6ZIX+6Z2>X2+…，构造€,（3；）
4、即是确定n+1个多项式的系数“0，“1，“2，••°3.构造的依据：当多项式函数也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数逼近于原来的函数/«。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：叫+^x0+a2x,2+•••+anx；=+aAx}+a2x^+…+anx^=y}“0+“w,,2+…V=x,其系数矩阵的行列式D为范德朗行列式：1及1X,=n（易-）n>i>j>0故当n+1个点的横坐标;^，x,，…，'各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于零，故方程组有唯一解。即有以下结论。结论：当已知的n+1个点的横坐标x。，a，…，％,,各不相同
5、吋，则总能够构造唯一的n次多项式函数6（x），使也过这n+1个点。1.几何意义2.举例:已知函数=求/（115）。分析：本题理解为，已知“复杂”函数=当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11，12，当x=115时，求函数伯解:1）线性插值：过已知的（100,10）和（121，11）两个点，构造1次多项式函数于是有x-121xlQ+x-100xH100-121121-100/(115)«乃(115)=10.71428571428572o(2)抛物插值:构造2次多项式函数使得它过已知的(100,10),(121,11)
6、和(144,12)三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：P(x)=—叫卜144)::lOl(x_100)(x—144):U1
7、("一100)(义―121)xl2八’(100-121)(100-144)(121-100)(121-144)(144-100)(144-121)则有/(115)«P2(115)=10.722755505364201.拉格朗日n次插值多项式公式：^(x)=Z0(x)^+/,(x)y,+•••+<,(x)x,=Ylk(义h其中/A»称为基函数（k=0,1，•••.，n）,每一个棊函数都是关于x的n次多项式,艽表达式为：拉格朗日
8、公式特点：1.把每一点的纵坐标单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数;3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是（％-•••）,而分母是（人-…）2.误差分析（拉格朗日余项定理）其巾f在XM，…，X,,，X所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有(115-100)(115-121)函数尸(x)在［100,115］区间绝对值的极大位为厂(100)=2.5xl0_4，则有:
9、/］(115)-/(115)
10、<0.01125<0.05于是近似值/(115卜(115)=10.71428571428572有三位有效数
11、字。针对以上例题的抛物线插值，有
12、P2(l15)-/(115)
13、=
14、^^(115-100)(115-121)(115-14
