梯度、散度和旋度

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1、梯度、散度和旋度 (2011-09-1220:36:08)转载▼标签： 旋度 散度 梯度 矢量场 拉普拉斯算子 波动方程分类： 电子技术   梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下：                                                                                                  从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函

2、数。这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式                               (1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：              

3、           (2)                          (3)                           (4)旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：                                  而                                  (5)则电势的梯度的散度为                            这是一个三维空间上的标量函数，常记作                          

4、       (6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义                                所以有                               当然，这只是一种记忆方式。当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程                                      当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即                     

5、                这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来

6、推导一个矢量恒等式。 III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是

7、不可微，也就没有求梯度的意义。 IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令                            (7)则                                                                                                      从而                                                                                             将上面三式相

8、加结果也为零。所以说旋度