实验三最佳分数近似

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1、实验三最佳分数近似学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学学号:201370020138姓名：王青青一、实验名：最佳分数近似值二、实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。“敁佳”就是既要误差小，又要分母小。我们首先需要对“敁佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。三、实验的基本理论和方法通过对的近似方法的分析得到分数的最佳近似值。是无理数，对于任何一个无理数不可能用分数f来作的准确值，只可能作它的近似值，近似值f的优劣可以用绝对误差A=

2、;r-f

3、来衡量。绝对误差A越小，就说明这个近

4、似值的精确度越高。任意给定一个分母q,，总可以选取是适当的分子P，使2最接近准确值6Z，也就是使绝对误q差△最小，小于由此可见，要提高精确度，减少误差，一个简单的方法是增大分母q，，只要q足够大，就可以使误差任意小。四、实验步骤1.分对无理数的最佳逼近:若有一个分数2的分母q〈Q并且误差q目/误差a-P

5、近。丄对n=3.14159265•••，分母为1敁接近n的分数近似值为i，是6h最佳分数逼近。分母为2最接近it的分数近似值$，它的分母比1大，但误_不比I小，是比i更差的分数近似值，不是最佳。差我们也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差A=

6、£P_

7、与分母q的乘积q△为标准来判定分数近似值G的优劣，qP_△越小，越优，还可以进一步强化“分母小”这一要求，用2qA作衡量标准，2qA值越小越优化。1.计算对数值：(1)对给定的正实数b,NJ!b#l，要求最数值(7=log,，TV，也就是求实数《使b“=7V，如果能找到实数

8、p，q使则bp’SN，logAA^£。以lg2为例：巾2io=lO24=lOOO=lO3可得lg2=上=0。再要q10提高精确度，就要找出更大的q使更接近的10的某个幂10〃，也就是使f更接近1.让q依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个Q，按如下V的递推法则求出一个正整数P=P(q)使实数入(q)=i最接近于1:21q=l时，p(l)=0，入(1)=10°=2.设已对q求出p(q)和入(q)，计算2入(q)，如果2入(q)〈况，贝U取(q+l)=p(q)，入(q+l)=2入(q)，如果2入(q)彡况，则取Pp(q+l)=

9、p(q)+l,A(q+l)=2A(q)/10.如果A(q)比以前所有的X(i)(1彡i彡q-1)都更接近1，即

10、P_入(q)-l

11、<

12、入(i)-l

13、对所有的l^i^q-1成立，就取3都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。(2)辗转相除法求对数log/，；VIN_'=N，N、、=b，对每个整数00，如果已经知道所有的N人-1

14、和七：将I连续除以若干个A；，知道所有的商满足条件入

15、1,则递推过程终止，叫^=%+丄+丄+•••+丄是有限连分数从而使有理aa2Cln数，否则，递推过程可以无限进行下去，log，=〃0+丄十丄+…十」axa，a被展开成无限连分数3、一元二次不定方程的整数解问题：设a，b，c是整数，求二元一次方程ax+by=c的整数解不妨设a,b都不为0,否则方程容易解，必要时交换未知数x,y，可化为»

16、/，

17、的情形，并可使&0。利用辗转相除法可得到余数数列......和商数列…使h和＜的商;Xm,.，余数力，;+1(约定〃=^,6=&)，由于a;是逐步减少的正整数，必然有某个余数数列和商数列终止

18、，最后一个非零的，P就是a，b的最大公约数d=(a,b)。而分数&被展开成有限连分数

19、=丄4•丄++•丄，去掉网ba,a2ak_,ak这个连分数的最后一项i，再将所得的连分数化成普通的既约分数则t是三的渐近分数近似值：t〜()+丄+l+...+-L+_L。误差dVvV网va,a2ak^ak_'，于是6zv-Z?w=a/，s=±l.a{ev）-

20、/?

21、（£z/）=do如果c不能被d整除，则原方程无整数解，否则，t=c/d是整数，，设b=p

22、Z?，(p=±1】，则x。=抓，y0=-eptu是方程ax+by=c的一组整数解。方程的通解为

23、x=x()^,y=y()--,其中2取遍所有整数五、实验总结通过本次实验，掌握了用分数近似值去给定的无理数作最佳近似逼近。