实验三最佳分数近似值

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1、数学实验姓名：康萍学号：201370010314老师：张贵仓班级：2013级（3）班时间：2016年4月19日实验三最佳分数近似值一、实验目的本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近。而“最佳”就是指既要误差小，又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，通过比较各种方法，最终寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。二、实验环境基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。三、实验的基本理论和方法（一）、分数对无理数的最佳逼近设。是给定的无理数，Z是分数，如果有一个分

2、数左的分母q

3、小、分母小这两个标准综合起来，以误差△2与分q母q的乘积q△为标准来判定分数近似值£的优劣，g△越小，左越优。还可以进qq一步强化“分母小”这一要求，用/△做衡量标准，/△值越小越优。（二）实数的连分数展开仍以龙=30141592653579…为例。先找它的分母为1的最佳近似值，也就是最佳整数近似值，显然是3・在寻找比3的误差更小（当然分母更大）的分数近似值时并不需要依次考虑分母为2,3,…的分数。因为这时已经有了整数近似值3,则龙=3+西。其中%,=0.141592653579…是3的误差,0y<1。只要能找

4、到州的最佳分数近似值,再加3就得到龙的最佳分数近似值。为了寻找与為接近的分数，先寻找A=丄=7.062513305931…接近的整数，117?显然是7.于是兀=3—=3—=—（1）A77这就是祖冲之的约率。为了寻找比丝误差更小的分数近似值，只需寻找比整数7更接近£的分数71来作为A的近似值。由于4=7+兀2,其中ov兀2=0・062513305931…VI。先找仏=丄=15.996594406685…的最佳整数近似值，显然是16.于是兀2人rr1H3A{=7+兀2=7=11616c1C1龙=3+—=3+—A7+

5、丄A=3+1+些113355H3(2)16这就得到祖冲之的密率0如果还要进一步提高精确度，就应当再考虑A?的整数近似值％的误差x2=16-A2=0.003405593314…。取£=丄=293.6345910144…的整数近兀2似值294,取A2-16-一用16-一代替（1）式中的分母16得到龙的更好294294的近似值3+——（3）16—294这个过程可以无限进行下去，得到龙的越来越精确的分数近似值。为了避免上面的分数表达式（2）中岀现减号，在取金=15.996594406…的整数近似值时不取过剩近似值16而

6、取不足近似值15.这样得到的龙的分数近似值3+—!—=—（2）7+丄10615然后再对4=15+^2的误差兀2的倒数人3=丄取整数近似值。这样的过兀2程可以无穷的进行下去，将龙表示成下面的形式：37+15-1?+^—?+・・.其屮？代表的都是正整数。一般地，对任何一个正整数Q,都可以用同样的方法进行展开;（1）取d（）=[a].（a表示不超过。的最大整数。）设西=。-°0。当兀1=0时算法终止，此时a=aQ.否则0V兀]V1,A]——>1，此时OC—Q（）H・坷A（2）一般地，设已经算出了非负整数他，正整数％卫

7、2，・・・，阪-1及实数Ak>1使1ehCl°+…1•••+j-ak-+〒为了书写的方便，将表达式(4)的右边的分式简写为1他+11rd]H…1a2ak-的形式，于是表达式(4)简写为(5)1°=+jjp%H…+1。2ak-4下一步取仪=[Ak],00时仍可取欣作为心的近似值，从而得到一个有限连分数作为a的近似值：(5‘)(6)1a=如+j1j-Q]H

8、…1a2ak-ak另一方面，此时可取4+1=丄〉1，念=仪+丄代入(5)式得xkA*+11%—ii―i―rH…11a2ak-akAt+1如果。是无理数，则以上过程可以无限进行下去，。被展开成无限连分数:11ClyH…a2an=limn—1如+11Q]H…+