高考数学难点突破 难点38 分类讨论思想

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1、难点38分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”●难点磁场1.（★★★★★）若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为.2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为

2、的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1–），得，(n∈N*)（2）要使，只要因为所以，(k∈N

3、*)故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)①所以Sk–2≥S1–2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得Sk–2＜Sk+1–2故当k≥2时，Sk–2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立因为，又Sk–2＜Sk+1–2所以当k≥3时，Sk–2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=

4、–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：

5、依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=①依题设，点C在直线AB上，故有由x–a≠0，得②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0若y≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1③此

6、时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为④所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴∵∴整理，得(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1–a)x2–2ax+

7、(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是又tan2θ=–b∴–b=①∵C点在AB上∴②由①、②消去b，得③又，代入③，有整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0④当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：a≠1时，④式变为当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a=