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1、平面向量的教量积及平面向量的应用【知识梳理】1.平而向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和办,它们的夹角为仏把数量k/
2、
3、Z>
4、cos沒叫做a和6的数量积(或内积),记作即a-b=a\bcos3r规定()•=0.2.向量数量积的运算律()a*b=b,a;(2)(/ayb=X((rb)=aAb);(3)(a--b)c=a,c-~b,c,3.平面向量数量积的有关结论已矢n非零向量g=(%i,少1),h=(x2,y2),结论儿何表示坐标表示模a=yfa^aa=ylx2}+y2}夹角z,a.bCOSu
5、—IIIfixx2+yyi丄A的充要条件a-b=0^2+Vjy2—0【问题思考】1.ab=ac,则吗?为什么?提示:不一定.《=0时不成立,另外r/^0时,由数量扭概念可知与c不能碗定.2.等式(6fl)C=(Zrc)成立吗?为什么?提不:不一定成立.(rrZ»)c是e方向上的向量,而汉(卜()是《方向上的向量,当“与c•不共线时它们必不相等.3.
6、a-*
7、与
8、
9、训的大小之间有什么关系?提示:训.因为a-b=a\bcos9,所以
10、«•务
11、=
12、“
13、岡cos办
14、.【基础自测】1.若非零向量“,6满足
15、«
16、=叫,(2«+
17、Z>)Zf=0,则《与6的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:选C•••(2“+外办=0,:.2ab+b2=0f•••2
18、«
19、
20、A
21、cos6H-
22、Z>
23、2=0.又•••
24、“
25、=网,.2cos^+1=0,即cos沒=-
26、.又<9e[0,兀],/.6>=y,即《与办的夹角为120°.2.已知向量rz=(l,—1),b=(2,x),若《办=1,贝1Jx=()A.—1B.—C.去D.1解析:选D7
27、«
28、=
29、/>
30、=1,ab=~
31、^贝lJ
32、«+2Z>
33、=()A.yf2B.V3C.y[5.D.^解析:选Ba+2b=yl(a+2b)2=yja2+4a-b+4b2=j1+4X(—£)+4=7^4.已知两个单位向量//,办的夹角为60。,c=t«+(1b-c=Q.则/=.解析:因为向量A为单位向量,所以Z»2=l,又向量汉,办的夹角为60。,所以由Zrc=0,得办[ra+(l-r)々]=0,即"r办+(12=0,所以
34、,+(1-/)=0,所以z=2.5.已知正方形的边长为2,£为€7)的屮点,则I•否万二.解析:选向量的基底为A6,AD,则BD=AD—A
35、B,AE=AD+^ABt■AE•BD=(—1—、一一AD+-AB(AD-AB)=2.<2)【考点分析】【考点一】平而向量数量积的概念及运算[例1](1)已知点//(_l,l)、B(l,2)、C(-2,—1)、乃(3,4),则向量丑在函方向上的投影为()逆3^5_3yj2_3y^5(2)如阁,在矩形屮,AB=y/2,BC=2,点£为^7的屮点,点F在边CZ)上,若H=屯,则的值是.ABCD3JTo[解](1)7^(-1,1),5(1,2),C(-2,-1),£>(3,4),AAB=(2,1),CD=(5,5),因此cos〈dfi,CD
36、)=__kllKI.•.向量I在而方向上的投影为I丑l.cos〈万,CD)=a/5X^^=^(2)以d为坐标原点,所在的直线分别为x,轴建立直角坐标系,则BC^,0),E(yf2f1),7)(0,2),Cb/^,2).设F(xf2)(0«必),由万=y/2^yl2x=yj2^x=1,所以F(l,2),AEBF=(V2,1)(1~V2,2)=^2.【互动探究】在本例(2)中,若四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是AB上的动点,求DECB的值及MM的最大值.解:I)(0,1)C(l,l)O)AZKL0)x以d点为原点,边所在直线为
37、X轴建立平面直角坐标系,如图所示,则正方形各顶点坐标分别为J(0,0)、5(1,0),C(l,l)、D(0,l),设£(“,0),O^a^l.DECB=(af-1)(0,-l)=«X0+(-1)X(-1)=1.DE•DC=(«,一l)(l,O)=67+(—l)XO=tz=
38、
39、
40、Z»
41、cos二是坐标公式rr^=X
42、X2+(2)求复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.变式
43、:1.若向量r/=(l,l),Z>=(2,5),c=(3,x),满足条件(8«—办)贝ijx=.解析:7^=(1,1),A=(2,5),/.8tf-A=(8,8)-(2,5)=(6,3).又c=(3,x),—Z>)i=18+3x=30