第二十二章“一元二次方程”简介

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1、第二十二章“一元二次方程”简介课程教材研究所　田载今一、教科书内容和课程学习目标（一）教科书内容本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及运用一元二次方程分析和解决实际问题.全章共包括三节：22．1　一元二次方程22．2　降次22．3　实际问题与一元二次方程22.1节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.这些概念是全章后续内容的基础.22.2节讨论一元二次方程的基本解法，其中包括

2、配方法、公式法和因式分解法等，这一节是全章的重点内容之一。本套教科书在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出现的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是“降次”。22.2节首先通过解比较简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；有了配方法作基础，再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。

3、本节最后讨论因式分解法解一元二次方程，这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别令每个一次因式为0。这几种解法都是依降次的思想，将二次方程转化为一次方程，只是具体的降次手段有所不同。第6页共6页22．3节安排了4个探究内容，结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题和匀变速运动。一元二次方程与许多实际问题都有联系，本节不是按照实际问题的类型分类和选材的，而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型，重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示，这种数学建模思

4、想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展，数学模型由一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样安排的主要目的是：1．反映客观世界与数学的密切联系；2．加强对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力的培养。课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为必学内容，因此本章也未在课文中安排有关内容。考虑到部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识，以及这个内容是比较重要的数学知识，教科书在选学栏目“观察与猜想

5、”中安排了有关内容，希望能提供一些问题给部分学生去探究。在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调解一元二次方程与实际问题之间的联系，突出解一元二次方程的基本思路以及具体方法，这是本章的重点内容。一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最后一种方程，从某种意义上说，学习本章也具有对方程的学习进行总结的作用。（二）本章知识结构框图第6页共6页（三）课程学习目标1．以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；2．根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因

6、式分解法等一元二次方程的基本解法；3．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。（四）课时安排本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：22．1　一元二次方程　　　　　　　　　　2课时22．2　降次　　　　　　　　　　　　　　6课时22．3　实际问题与一元二次方程　　　　　3课时第6页共6页数学活动小结　　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时二、本章编写特点本章教科书在编写中力图体现以下两个特点。（一）重视一元二次方程与实际的联系，再次

7、体现数学建模思想数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程.方程是含有未知数的等式，它们表达了数量之间的相等关系。正如前面所学习过的其他方程，一元二次方程可以表达许多实际问题中包含的数量相等关系，因而也可以作为分析和解决这些问题的重要数学模型。从反映方程与实际问题的密切联系的角度看，本章与本套教科书前面有关方程的各章是一脉相承的，实际问题情境始终贯穿于本章之中。如前所述，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。引言中的雕像问题是典型的黄金分割

8、问题，本章内容由它说起，引出一个具体的一元二次方程，接着在22．1节又利用面积问题和体育比赛中的组合问题补充两个一元二次方程的具体例子，在这三个具体例子的基础上归纳出一元二次方程的定义及一般形式。这样编排可以反映一元二次方程及其有关概念是来源于现实世界的。在22．2节讨论一元二次方程的解法