专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系

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1、专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系证明两线段的相等关系1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第2题)证明两线段的

2、位置关系证明两线段平行[来源:学科网ZXXK]3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．(第3题)[来源:学科网]证明两线段垂直4．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G.求证：EG⊥DF.(第4题)答案1．证明：∵DE∥BC，∴△N

3、EO∽△MBO.∴＝.同理可得＝.∴＝.∴＝.[来源:Zxxk.Com]∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴＝.[来源:Zxxk.Com]同理可得＝.∴＝.∴＝.∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.2．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.(第2题)易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，　∴＝，＝.∴＝.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F.∴∠CAM＝∠F.∴AC＝CF.∴AC＝2CE.3．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC

4、，知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴＝＝.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点．∴BD＝CD.∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点．从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴＝＝.∴＝.又∵DF∥AB，∴＝.∴＝.∴＝.又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.4．证明：∵AD＝A

5、B，点E，F把AB三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k，AF＝2k.[来源:学_科_网Z_X_X_K]∵CD∥AB，∴△AFG∽△CDG.∴＝＝.设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k.∴5m＝k.∴m＝k.∴FG＝k.∴＝＝，＝＝.∴＝.又∵∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.