2002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答

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1、初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分）1．函数中，自变量的取值范围是.2．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是度.3．已知，那么的值是.4．△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD相交于点O，在这个图中，面积相等的三角形有对.5．不等式的正整数解的共有个．6．函数的图象在象限．7．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，D是BC上的一点，且BD：DC＝2：3，则AD的取值范围是.8．关于自变量的函数是偶函数的条件是.9．若关于未知数的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是.10．AB、AC为⊙O

2、相等的两弦，弦AD交BC于E，若AC＝12，AE＝8，则AD＝.二、（本题满分12分）11．如图，已知点A和点B，求作一个圆⊙O，和一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形．（要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽．四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测

3、得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x的方程（p、q是实数）没有实数根，求证：.七、（本题满分14分）16．如果⊙O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上的一个任意点，求：的值.八、（本题满分16分）17．试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程的两根中一个大于1，另一个小于1.九、（本题满分16分）18．点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB＋PC最小，并证明你的结论.参考答案一、1.且2.2883.4.45.6.一、二、

4、三7.40,所求的曲线的方程是五、14.解：如图，DE表示水面，A表示观测点，B为碑顶，在水中的倒影，由题意：设,则在Rt△ABC中，在Rt△AC中，由

5、、得米答：水面到碑顶的高度4.41米.六、15.证：由题意，令得即七、16.解：如图，平分直角，在△APB中，由余弦定理，得：同理，在△BPC中，有当点P与点A或点D重合时.八、17.解法1：设，则,令，得，当时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.解法2：设是方程的两根，则，依题意，解得：.当时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1.九、18.解：当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，PA+PB＋PC最小.证明：如图，P为△ABC一边BC边上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，又设AC为△ABC最短边，作这边上的高（如图），可知.在上截取,在BC上截取，作.垂足为,连

6、结.≌.四边形是矩形，，在中，，.(2002.12.15)