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1、2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.(1)常数T满足和,则T的一个值是().(A)(B)(C)(D)(2)在等差数列中,,则的值为().(A)24(B)22(C)20(D)(3)设点P对应复数是,以原点为极点,实轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则点P的极坐标为().(A)(B)(C)(D)(4)设A、B是两个非空集合,若规定:,则等于().(A)(B)(C)(D)(5)函数的图象与直线的交点个数为().(A)0(B)1(C)2(D)0或1
2、(6)设函数(其中),则是为奇函数的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(7)如图,在斜三棱柱中,∠BAC=90°,,过作底面ABC,垂足为,则().(A)在直线AC上(B)在直线AB上(C)在直线BC上(D)在△ABC内(8)电讯资费调整后,市话费标准为:通话时间不超过3分钟收费0.2元;超过3分钟,以后每增加1分钟收费0.1元,不足1分钟以1分钟收费.则通话收S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为().ad1ecf764eb4fd146c942589b3b
3、83d98.docPage7of7(A)(B)(C)(D)(9)以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为().(A)(B)(C)(D)(10)已知的展开式中所有项系数之和为729,则这个展开式中含项的系数是().(A)56(B)80(C)160(D)180(11)AB是过圆锥曲线焦点F的弦,l是与点F对应的准线,则以弦AB为直径的圆与直线l的位置关系().(A)相切(B)相交(C)相离(D)由离心率e决定(12)定义在R上的函数的反函数为,则是().(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)满足
4、题设的函数不存在第II卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.(13)函数的反函数是.(14)已知抛物线的焦点坐标为,准线方程为,则其顶点坐标为(15)如图,在棱长都相等的四面体A—BCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则直线AF、CE所成角的余弦值为.(16)甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛,决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没拿冠军”,对乙说:“你当然不是最差的.”请从这个回答分析,5人的名次
5、排列共可能有种不同情况(用数字作答).区(县级市)学校考生号姓名密封线内不要答题三、解答题:本大题共6小题,满分74分.(17)(本小题满分10分)已知复数,其中A、C为△ABC的内角,且三个内角ad1ecf764eb4fd146c942589b3b83d98.docPage7of7满足2B=A﹢C.试求的取值范围.(18)(本小题满分12分)已知曲线C上的任一点M(其中),到点的距离减去它到y轴的距离的差是2,过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点,通过点P和坐标原点的直线交直线于N.(I)求曲线C的方程;(II)
6、求证:NQ平行于x轴.(19)(本小题满分12分)是否存在一个等差数列,使对任意的自然数n,都有….(20)(本小题满分12分)如图,△ABC是一个遮阳棚,点A、B是地面上南北方向的两定点,正西方向射出的太阳(用点O表示)光线OCD与地面成锐角.(I)遮阳棚与地面成多少度的二面角时,才能使遮影△ABD面积最大?(II)当AC=3,BC=4,AB=5,=30°时,试求出遮影△ABD的最大面积.(21)(本小题满分14分)甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表:项目甲乙丙维生素A(单位/千克)600700400维
7、生素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物,并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M(元);并确定x、y、z的值,使成本最低.(22)(本小题满分14分)定义在上的函数满足:①对任意、,都有;②当时,有.证明:(I)函数在上的图象关于原点对称;(II)函数在上是单调减函数;(III).ad1ecf764eb4fd146c942589b3b83d98.docPa
8、ge7of72002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题:题号123456789101112答案CABBDCBCACDD二、填空题:(13)(14)(15)(16)54三、解答题:(17)(本小题满分10分)解:由△ABC的内角关系,又则由从而为所求.(18)(本小题满分12分)(I)解:由题设知:曲线C上任意一点M到定点距离
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