线性代数第十五讲

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1、§4.4行列式按一行（列）展开定义在n阶行列式D=中，划去元素所在的第i行和第j列，由剩余的个元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式被称为元素的余子式，记为；21被称为元素的代数余子式，记为。例求行列式D=的代数余子式和。解，：，：，21定理n阶行列式D=等于它的任意一行的所有元素与它们各自的代数余子式的乘积之和，即　上式称为行列式按第行展开。例计算行列式D=解对按第一行展开，即得21例计算行列式解21递归地可得于是上例中使用的方法是否可用于计算n阶行列式？21例证明阶Vandermonde行列式的恒等式：证明对作数学归纳法：对，恒等式成立；设

2、恒等式对阶成立，即下面证明恒等式对阶Vandermonde行列式也成立：2121例已知分块矩阵，这里，子块和均是方阵，则，定理设A、B是n阶方阵，则21例设A是n阶方阵，且，求。解由此得于是，行列式计算的常用方法：（1）对角线算法；（2）利用性质；（3）变形为三角形行列式；（4）降低行列式的阶数；（5）利用与矩阵的关系。21定理n阶行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即　例已知四阶行列式21求。§4.5行列式的应用一、求解线性方程组（Cramer法则）定理（Cramer法则）如果线性方程组　　　　　　　　　　　　　　　的系

3、数行列式D=那么该方程组有唯一解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21其中推论若齐次线性方程组　有非零解，则它的系数行列式。例已知齐次线性方程组有非零解，求a。解21因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方程组的系数行列式等于零，即于是或。例对于方程组试讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？解方程组的系数行列式情况1：且21因，故方程组有唯一解。情况2：因，此时方程组无解。情况3：因，此时方程组有无穷多个解。二、方阵可逆的条件定义设是n阶方阵，是21中元素的代数余子式。称n阶方阵为的伴随矩阵，记为。例已知则性质设是方阵，则定理方阵可逆

4、的充分必要条件是；当可逆时21其中为的伴随矩阵。例已知且，则可逆，且三、矩阵的秩定理设为n阶方阵，则满秩的充要条件是。定义设矩阵，任取的k个行（第行）和k个列（第列）的交叉点上的个元素，并按原来顺序排列成的k阶行列式21称为的一个k阶子式；特别地，当时，称为的一个k阶主子式。注意与余子式、代数余子式的区分！定理设矩阵，则秩()=r的充要条件是有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式（若有的话）全为零。例设4阶方阵的秩为2，求伴随矩阵的秩。解因为的秩为2，故存在不等于零的2阶子式，但全部3阶和4阶子式均等于零。又的每个元素的余子式是的某个3阶子式，

5、所以的所有元素的代数余子式均为零。于是，=0，即的秩为零。21小结（1）熟练掌握3阶、4阶及简单的n阶行列式的计算；（2）会使用Cramer法则求解方程组；（3）掌握伴随矩阵的概念、性质；（4）掌握矩阵可逆的充分必要条件；（5）掌握行列式与矩阵的关系。例已知4阶方阵可逆，求下列齐次线性方程组的一般解。21解设分别表示元素的代数余子式。令，代入方程组。由行列式的性质得，恰为方程组的一个解。因可逆，故所以不全为零，即是方程组的一个非零解。所给方程组的系数矩阵的每个3阶子式都是的第一行某一元素的余子式，而已得不全为零，故矩阵至少21有一个3阶子式不等于

6、零，所以的秩为3。由此得所给齐次方程组的基础解系只含一个解，于是非零解就是一个基础解系。因此，所求一般解为，这里是任意常数。例设为n阶方阵，且秩()=n–1，则秩(*)=1。证明因秩()=n–1，故不满秩，所以

7、

8、=0。由此得于是秩()+秩(*)≤n从而秩(*)≤n-秩()=n–(n–1)=1又因秩()=n–1，故至少有一个阶子式不等于零。而的每个n–1阶子式都是21的某一元素的余子式，所以至少有一个元素的代数余子式不等于零，由此可知。所以又有秩(*)≥1。综上所述，可得秩(*)=1。21