等差数列及等比数列的“遗传”与“变异”

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1、等差数列及等比数列的“遗传”与“变异”１．遗传若数列是公差为的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列．如：（１）去掉前面几项后余下项组成的仍为公差为的等差数列．（２）所有的奇数项组成的是公差为的等差数列；　　　所有的偶数项组成的是公差为的等差数列；形如（其中是常数，且）的数列都是等差数列．由此可得到的一般性结论是：凡是项的序号成等差数列（公差为）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为．（３）数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列．（４）数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列．（５）数列（其中是常数，且）是公差为的等差数列．（６）若

2、是公差为等差数列，且为常数，则数列一定是公差为的等差数列．（７）等差数列中，任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等差中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等差数列．若是公比为的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列．如：（１）去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为的等比数列．（２）项的序号成等差数列（公差为）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为．（３）数列是公比为的等比数列．（４）数列（是任一常数且）是等比数列，公比仍为．（５）（是常数，且）是公比为的等比数列．特殊地：若数列是正项等比数列时，且是任一个实常数，则数列

3、是公比为的等比数列．（６）（其中是常数，且）是公比为的等比数列．（７）若是公比为的等比数列，，则是公比为的等比数列．（８）等比数列中，若任意连续项的和不为，则任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等比中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等比数列．２．变异　　若数列，均为不是常数列的等差数列时，则有：（１）当数列中的项不同号时，则数列一定不是等差数列．（２）数列不是等差数列（３）（是常数，且，，）不是等差数列．（４）数列不是等差数列．　　若数列为不是常数列的等比数列时，则有：（１）数列（其中是任一个不为０的常数，）不是等比数列．（

4、２）数列不一定是等比数列．如时，则，所以不是等比数列．（３）数列不一定是等比数列．３．突变（１）若数列是公差为的等差数列，则（其中是正常数）一定是公比为的等比数列．（２）若是公比为的正项等比数列，则（其中是不等于１的正常数）是公差为的等差数列．数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。二、公式

5、法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d=4，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4

6、·(－2)n－1例1.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)解析：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列，∴，，∴，故选(D)。例2.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、      叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知∵……各式相加得∴点评：一般地，对于型如类的通项公式

7、，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。例4.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=四、叠乘法例4：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以例4.已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。解析：首先由易求的递推公式：将上面n—1个等式相乘得：点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用(≥2)例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。（2）解：（1）===3此时，。∴=3为所求数列

8、的通项公式。（2），当时由于不适合于此等式。∴点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法：例6：设数列的各项是一个等差