高等数学---映射与函数

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1、基本概念函数概念小结作业思考题第一节映射与函数第一章函数与极限函数的特性反函数1一、集合(1)定义组成这个集合的事物称为该集合的元素.(3)符号(4)表示列举法描述法(5)常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合.1.集合概念(2)有限集和无限集映射与函数2不含任何元素的集合称为空集,规定空集为任何集合的子集.(6)关系子集(包含),相等,2.集合的运算并,交,(1)基本运算BAIBAIA∩B={x

2、xA且xB}A∪B={x

3、xA或xB}映射与函数3补,直积或笛卡儿乘积:差,ABIAB={x

4、xA且xB}A

5、BIAB映射与函数4(2)运算法则交换律:结合律:分配律:对偶律:映射与函数53.区间和邻域开区间(a,b):(1)有限区间闭区间[a,b]:半开区间[a,b):半开区间(a,b]:映射与函数6(2)无限区间映射与函数7(3)邻域点a的邻域U(a):以点a为中心的任何开区间.点a的δ邻域U(a,δ):U(a,δ)的实质:U(a,δ)=(a–δ,a+δ).点a的左δ邻域:(a–δ,a).点a的右δ邻域:(a,a+δ).问题：如何用邻域表示(1,2)呢？映射与函数8二、映射引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1,2,…,

6、6}，入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为Y={301,302,303,304}．我们确定分配方案如下：{1}301，{2,3}302，{4,5}303，{6}304．引例(2)设X=Y={1,2,3,4}，规定对应法则：12，23，34，41．共同之处:在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与它对应。映射与函数91.映射概念(1)定义(2)要素设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则

7、称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y如，X={三角形}，Y={圆}，f：X→Y,对每个xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.映射与函数10注记映射与函数11(3)满射、单射和双射(一一映射)满射：单射：双射（一一映射）：既是单射，又是满射.Rf=Y,即Y中任一元素都是X中某元素的像；映射与函数12补例1设X是一切非负实数所成的集合，Y={yyR,0y<1}，f是从X到Y的一个映射，证明：f是从X到Y的一一映射。f(x)=．证明:①设yY，取x=，因为0y<1，所以x0，即xX．我们有f(x)===y

8、．所以f是满射。映射与函数13②设x1,x2X，所以f是单射。综合(1)，(2)所述，f是一一映射。(4)几种常用的映射(算子)泛函f：X→Y(数集);变换f：X→X;函数f：X(实数集或其子集)→Y(实数集).映射与函数x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)142.逆映射与复合映射(1)逆映射问题：请分析补例1是否存在逆映射？设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到X的新映射g，即g：RfX，对每个yRf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y．这个映射g称为f的逆映射，记作f-1．其定义域Rf，其值域X．映射与

9、函数15(2)复合映射注记:两个映射的复合是有顺序的;映射与函数16３.举例例４映射与函数17三、函数1.函数概念(1)定义设D是实数集，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为：其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，一般记作(2)要素定义域D及对应法则f．映射与函数18注记:区别符号f与f(x)的不同含义；函数是特殊的映射.掌握函数定义域D的确定原则:(3)函数定义域D的确定(ⅰ)对有实际背景的函数，根据问题的实际意义确定;(ⅱ)对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许之取值而定（此为自然定义域）.映射与函数

10、19(4)单值函数与多值函数若对xD唯一yRf，则y=(x)单值；若xD多个yRf，则y=(x)多值。如，x2+y2=r2(r>0)确定y是x的二值函数。对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支。映射与函数20例５函数y=2yxo1y=2映射与函数21例6绝对值函数yxo1-11y=

11、x

12、映射与函数22例７符号函数yxo1－1映射与函数23例8函数xyo21y=f(x)分段函数映射与函数24补例2设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分钟是6.6

13、0(元),以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计)另加1.20(元).显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位:分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的图形。解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数的定义域为(0,+)．从给出的信息，我们有映射与函数25取整函数y=[x]