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时间:2018-10-22
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1、谈对有理数概念的理解从小学数学到初中数学,对初一学生来说是一个飞跃。不论从量的方面,还是从质的方面,都有一个逐步适应的过程。 初一的同学要想学好数学,应该特别注意对有理数概念的理解。 引入负数之后,我们对整数和分数的认识有了发展,整数包括正整数、零、负整数,分数包括正分数、负分数,整数和分数统称为有理数。我们还可以按正负性来分: 有理数 把有理数分为“正、负、零”三类,有着十分重要的意义,因为绝对值的确定是按“正、负、零”三种情况规定,而有理数大小的比较,也是按“正、负、零”进行的。 初中数学的
2、显著特点是用字母表示数,这是小学数学向初中数学过渡的重要标志,要学好初中数学,就必须理解有理数的概念,善于对字母进行分类讨论。下面举例说明。 例1:若一个有理数的:(1)倒数;(2)绝对值;(3)相反数;(4)平方;(5)立方,等于它本身,那么这个数是多少? 答:(1)±1;(2)任何正数或0;(3)0;(4)0或1;(5)0,1或-1。 在回答以上问题时,同学们容易犯的错误是,给出的答案不完整,如倒数等于它本身的有理数是1;绝对值等于它本身的数是正数等,其原因主要是对数域的拓宽不适应,仍习惯于局限
3、在小学所学过的正数和0的范围内考虑问题,而忽略了已经引进的负数。当然也还存在对新学的绝对值、相反数等概念没有准确理解而造成的错误。 例2:一个数的相反数和它的绝对值是否可以相等?若两个有理数互为相反数,这两个数能否互为倒数? 答:一切非正数的相反数和它的绝对值相等;若两个有理数互为相反数,这两个数不可能互为倒数。(因为0以外的两个相反数是异号的,而互为倒数的两数之积为1,故必然同号;0没有倒数。) 在回答以上问题时,前一问题的常见错误一是有些同学误以为一个数a的相反数-a总是负数;二是误认为
4、a
5、
6、=a,因而得出“总有
7、a
8、≠-a”的错误结论,其原因主要是对相反数与绝对值的概念还没有完全理解。其实,负数的相反数就是正数,0的相反数还是0。如-3的相反数就是-(-3),即3。而
9、3
10、=3,所以-3的相反数和它的绝对值是相等的。一般地,当a≤0时,a的相反数-a≥0,而按绝对值的意义,
11、a
12、=-a,所以,当a≤0时,它的相反数和绝对值是相等的。 后半题的回答正确与否,既取决于对相反数、倒数的意义是否明确,还要有一定的分析问题的能力,如a与-a互为 相反数,a与(a≠0)互为倒数,显然对任何a≠0的
13、数,因 为-(a2)≠1,故-a≠。 例3:判断下面各结论的正误,并说明理由(式中字母表示有理数)。 判断:(1)a一定大于-a;(2)a不是正数时,
14、a
15、一定大于a。 答:(1)a是有理数,分三种情况讨论: 当a是正数时,-a是负数,此时有a>-a; 当a是负数时,-a是正数,此时有a<-a; 当a是0时,-a也是0,此时a=-a。 由于后两种情况下结论不对,所以原结论不对。 (2)a不是正数,可以是负数,也可以是0(此种情况千万不能忽视)。 当a<0时,
16、a
17、是正数,此时
18、a
19、>a
20、; 当a=0时,
21、a
22、=0,此时
23、a
24、=a。 由于a=0时结论不对,所以原结论不对。 从上面三个例题的思考解答中可以看出,掌握有理数的概念是学好有理数的基础,我们必须对概念进行逐字逐句的推敲,力求弄清这些概念的意义,并借助于数轴加强有关的练习,才能真正掌握这些概念。只有切实掌握了这些概念,才能进一步学习好有理数的运算法则,为准确而熟练地进行运算奠定基础。 〔责任编辑:高照〕
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