模糊数学 之 模糊集的基本概念

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1、第1章模糊集的基本概念模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方

2、面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.§1.2模糊理论的数学基础经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.集合的表示法：(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x

3、P(x)}.AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).并集A∪B={x

4、xA或xB}；交集A∩B={x

5、xA且xB}；余集Ac={x

6、xA}.集合的运算规律

7、幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；排中律：A∪Ac=U，A∩Ac=；U为全集，为空集.集合的直积：XY={(x,y)

8、xX,yY}.映射与扩张映射f：XY集合A的特

9、征函数：特征函数满足：取大运算,如2∨3=3取大运算,如2∧3=2扩张：点集映射集合变换二元关系XY的子集R称为从X到Y的二元关系，特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R上的特征函数.关系的三大特性：设R为X上的关系(1)自反性：若X上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系R具有自反性；(2)对称性：对于X上的任意两个元素x,y，若x与y有关系R时，则

10、y与x也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x与y有关系R，y与z也有关系R时，则x与z也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.关系的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z

11、的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]

12、y∈Y}关系合成的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)

13、1≤k≤s}.定义：若R为n阶方阵，定义R2=R°R，R3=R2°R…例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X

14、到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={(x,y)

15、x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)

16、y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1°R2={(x,y)

17、x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°)运算的性质：性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：Ak°Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C)；(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°C≤B°D

18、.O为零矩阵，I为n阶单位方阵.A≤Baij≤bi