二○○四年湖南省高中数学竞赛试题

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1、二○○四年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若，则()A．B．C．D．2.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=④其中在上为单调增函数的是()A．①B．②C．①和③D．②和④3.方程的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于()A．0B．1C．2D．44.已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为

2、A．36πB．32πC．20πD．16π()5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为()A．9B．12C．15D．186.已知数列{}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于()A．80B．40C．24D．-487.已知曲线C：与直线有两个交点，则m的取值范围是()A．B．C．D．8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为()A．B．C．D．9.设，则x

3、、y、z的大小关系为()A．x

4、的概率为，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}.(1).求证：AB(2).若，且，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B

5、、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？组ABCD上衣(件)8976裤子(条)101211717.设数列满足条件：，且)求证：对于任何正整数n，都有18.在周长为定值的△ABC中，已知

6、AB

7、=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为.(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC

8、内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、.求证：二○○四年湖南省高中数学竞赛试题参考答案一、选择题：ADCBCCCCBA二、填空题：11.2512.13.414.1三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则AB显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而AB.解(2)：A中元素是方程f(x)=x即的实根.由A≠φ，知a=0或即B中元素是方程即的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为因此，要A=B，即要方程①要么没有实根，要么实根是方程②的根.若①没有实根，则，由此解得若①有

9、实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有2ax+1=0.由此解得,再代入②得由此解得.故a的取值范围是16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：，且①只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y(件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y)(条)依题意，有4

10、2+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即.令μ=42+8x+9y=42+8x+9()=123+因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3,μ取得最大值，即μmax=125.因此，安排A、D