高考必备— —一轮数学精选模拟试题（1）

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1、高考必备——一轮数学精选模拟试题（1）　　高考必备——一轮数学精选模拟试题（1）　　　　　　7.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________.　　解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y=kx-2，y2=8x，　　消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0，　　由题意得Δ=[-4(k+2)]2-4×k2×4>0，x1+x2=4(k+2)k2=2×2，　　∴k>-1，k=-1或k=2，即k=2.　　答案：2　　8.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b

2、>0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点).　　(1)求证：1a2+1b2等于定值;　　(2)若椭圆的离心率e∈32，22，求椭圆长轴长的取值范围.　　解：(1)证明：由b2x2+a2y2=a2b2，x+y-1=0　　消去y，得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，①　　∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0，　　即4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0　　⇒a2b2(a2+b2-1)>0，　　∵a>b>0，∴a2+b2>1.　　设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x

3、1、x2是方程①的两实根.　　∴x1+x2=2a2a2+b2，x1x2=a2(1-b2)a2+b2.②　　由OP⊥OQ得x1x2+y1y2=0，　　又y1=1-x1，y2=1-x2，　　得2x1x2-(x1+x2)+1=0.③　　式②代入式③化简得a2+b2=2a2b2.④　　∴1a2+1b2=2.　　(2)利用(1)的结论，将a表示为e的函数　　由e=ca⇒b2=a2-a2e2，　　代入式④，得2-e2-2a2(1-e2)=0.　　∴a2=2-e22(1-e2)=12+12(1-e2).　　∵33≤e≤22，

4、∴54≤a2≤32.　　∵a>0，∴52≤a≤62.　　∴长轴长的取值范围为[5，6].　　9.已知抛物线C：y2=4x，过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→=λAQ→.　　(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F;　　(2)若λ∈13，12，求

5、PQ

6、的最大值.　　解：(1)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，-y1).　　∵AP→=λAQ→，∴x1+1=λ(x2+1)，y1=λy2，　　∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x

7、1=λ2x2，　　∴λ2x2+1=λ(x2+1)，λx2(λ-1)=λ-1，　　∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F(1,0)，　　∴MF→=(1-x1，y1)=(1-λ，λy2)　　=λ1λ-1，y2=λFQ→，　　∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.　　(2)由(1)知x2=1λ，x1=λ，　　得x1x2=1，y21•y22=16x1x2=16，　　∵y1y2>0，∴y1y2=4，　　则

8、PQ

9、2=(x1-x2)2+(y1-y2)2　　=x21+x22+y21+y22-2(x1x2+y1y2)　　=λ+1λ2

10、+4λ+1λ-12　　=λ+1λ+22-16，　　λ∈13，12，λ+1λ∈52，103，　　当λ+1λ=103，即λ=13时，

11、PQ

12、2有最大值1129，

13、PQ

14、的最大值为473.　　B组　能力突破　　1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则

15、AF

16、

17、BF

18、的值等于　　(　　)　　A.5　　B.4　　C.3D.2　　解析：记抛物线y2=2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1，C，则有cos60°=

19、A

20、C

21、

22、AB

23、=

24、AA1

25、-

26、BB1

27、

28、AF

29、+

30、BF

31、=

32、AF

33、-

34、BF

35、

36、AF

37、+

38、BF

39、=12，由此得

40、AF

41、

42、BF

43、=3，选C.　　答案：C　　2.(2013•课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，

44、MF

45、=5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为　　(　　)　　A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x　　C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x　　解析：以MF为直径的圆过点(0,2)，∴点M在第一象限.由

46、MF

47、=xM+p2=5得M5

48、-p2，2p5-p2.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为52，122p5-p2，　　∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y轴切于点(0,2)，　　从而2=122p5-p2，即p2-10p+16=0，解得p=2或p=8，∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.　　答案：C