抛物线复习讲义.doc

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1、高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程辽河油田第三高级中学　杨闯【本讲主要内容】    抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】【知识点精析】   1. 抛物线定义：    平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。   2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程

2、的几何性质（如下表）：    其中为抛物线上任一点。   3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。   4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。    说明：   1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。   2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。   3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性

3、质。 【解题方法指导】    例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。   例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为    由，消去得    设，则    ∵∥轴，且在准线上    ∴点坐标为    于是直线的方程为    要证明经过原点，只需证明，即证    注意到知

4、上式成立，故直线经过原点。    证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。    证法三：如图，    设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足    则∥∥，连结交于点，则        又根据抛物线的几何性质，    ∴    因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。    评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。【考点突破】【考点指要】    抛物线部分是每年高考

5、必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。    考查通常分为四个层次：    层次一：考查抛物线定义的应用；    层次二：考查抛物线标准方程的求法；    层次三：考查抛物线的几何性质的应用；    层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。    解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 【典型例题分析】  例3. （2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的

6、坐标为（   ）A.                B.                C.                D.     答案：Ｂ    解析：解法一：设点坐标为，则               ，    解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。    解法二：由题意设，则，    即，，求得，∴点的坐标为。    评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。   例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（    ）   A. －2                 B.2             

7、 C. －4                  Ｄ.4    答案：D    解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。    评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】一. 选择题：1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（    ）   A.                   B.                   C.                D. 2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（    ）   A.4              B.4或－4 

8、                  C. －2                 D. －2或23. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）   A.