图论课件--平面图的判定与涉及平面性的不变量

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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、平面图的判定(二)、涉及平面性的不变量平面图的判定与涉及平面性的不变量2这次课要解决的问题是：给出判定一个图是否是可平面图的充分必要条件。(一)、平面图的判定在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的具有m条边的图G来说，如果G满足如下条件之一：(1)m>3n-6;(2)K5是G的一个子图；(3)K3,3是G的一个子图，那么，G是非可平面图。但上面的条件仅为G是非可平面图的充分条件。最早给出图的平面性判定充要条件的是波兰数学家库拉托斯基(30年代给出)。后来，美国数学家惠特

2、尼，加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都给出了不同的充要条件。3所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。我们主要介绍波兰数学家库拉托斯基的结果。库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一事实而提出的平面性判定方法。一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是G不含子图K5和K3,3。上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？十分遗憾！下面例子给出了回答：NO!下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。考虑F=G×K34注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷贝中的边没有画出。图中虚线不是

3、对应的Gi中边。Gu5u4u3u2u1v5v4v3v2v1w5w4w3w2w1G3G2G15可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于K5与K3,3得到了图的平面性判据。1、相关概念定义1在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在2度顶点内收缩。在2度顶点内收缩在2度顶点内扩充6定义2两个图G1与G2说是同胚的，如果，或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同构的图。G

4、3G2G1上面的G1,G2,G3是同胚的。注：图的平面性在同胚意义下不变。7定理1(库拉托斯基定理)图G是可平面的，当且仅当它不含K5或K3,3同胚的子图。例1求证：下面两图均是非平面图。图G1图G2证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。8对于G2来说，先取如下子图G2的一个子图对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K3,3:K3,3所以，G2是非可平面图。9例2确定下图是否是可平面图。u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图

5、是非可平面图。但我们必须找到证据！当然我们可能考虑是否m>3n-6。遗憾的是该图不满足这个不等式！10u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2所以，我们要在该图中寻找一个与k5或K3,3同胚的子图！由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与K5同胚的子图。因此，只有寻找与K3,3同胚的子图！解：取G中红色边的一个导出子图：也就是得到G的如下形式的一个子图：11上图显然和K3,3同胚。由库拉托斯基定理知，G是非可平面的。u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2注：(1)库拉托斯基定理可以等价叙述为：库拉托斯基定理：图G是

6、非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。12(2)库拉托斯基(1896---1980)波兰数学家。1913年开始在苏格兰格拉斯哥大学学习工程学，1915年回到波兰发沙大学转学数学，主攻拓扑学。1921年获博士学位。1930年在利沃夫大学作数学教授期间，发现并证明了图论中的库拉托斯基定理。1939年后到发沙大学做数学教授。他的一生主要研究拓扑学与集合论。库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。定义2给定图G,去掉G中的环，用单边代替平行边而得到的图称为G的基础简单图。13定理2(1

7、)图G是可平面的，当且仅当它的基础简单图是可平面的；(2)图G是可平面图当且仅当G的每个块是可平面图。证明：(1)由平面图的定义，该命题显然成立。(2)必要性显然。下面证明充分性。不失一般性，假设G连通。我们对G的块数n作数学归纳证明。当n=1时，由条件，结论显然成立；设当n

8、v都在外部面边界上，则把它们在点v处对接后，将得到G的平面嵌入。即证G是可平面图。关于图的可平面性刻画，数学家瓦格纳(Wangner)在1937年得到了一个定理。15定义3设uv是简单图G的一条边。去掉该边，重合其端点，在删去由此产生的环和平行边。这一过程称为图G的初等收缩或图的边收缩运算