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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、涉及算法的相关概念(二)、平面性算法平面性算法2关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判定方法：(一)、涉及算法的相关概念(1)对于简单图G=(n,m)，如果m>3n-6，则G是非可平面的；(2)对于连通图G=(n,m)，如果每个面次数至少为l≥3,且m>(n-2)l/(l-2)，则G是非可平面的；(3)库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有与K5或K3,3同胚的子图；(4)瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够收缩成K5或K3,3的子图；3上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个算法，其作用是：如果G非可平面，通过算法可以
2、得到判定；如果G是可平面图，通过算法，可以给出一种平面嵌入形式。定义1设H是G的一个子图，在E(G)-E(H)中定义一个二元关系“~”:(1)e1与e2分别是W的始边和终边，且(2)W与H的内点不能相交。容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。4定义2设B是E(G)-E(H)关于二元关系“~”的等价类在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。例1在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G关于H的所有桥。GGB1B2B3B45定义3设H是图G的可平面子图，是H的一种平面嵌入。若G也是可平面图，且存在G的一个平面嵌入，且：称是G容
3、许的。例2在G中，我们取红色边导出的子图为H,并取容易知道：是G容许的。G6例3在G中，我们取红色边导出的子图为H,并取容易知道：不是G容许的。定义4设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附着顶点都位于的某个面f的边界上，则称B在面f内可画入，否则，称B在面f内不可画入。7对于G的桥B,令：例4红色边的导出子图是H,如果取确定H的桥在中可以画入的面集合。B3B2B1f3f2f1G解：8定理1设是G容许的，则对于H的每座桥B:证明：因是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌入，使得：于是，H的桥B所对应的的子图，必然限制在的某个面内。所以：注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条
4、件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,9使得对于某桥B，有，那么，G是非可平面的。根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G的平面性问题：先取G的一个可平面子图H1,其平面嵌入是对于H1的每座桥B,如果：，则G非可平面。否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面将B1画入的面f中。10如果B1可平面，则只要把B1平面嵌入后，得到H2的平面嵌入然后再进行上面相同的操作，可以得到G的边数递增的子图平面嵌入序列：最终，得到可平面图G的一种平面嵌入形式。(二)、平面性算法1964年，Demoucron,Mlgrance和Pertuiset提出了下面的平面性算法，简称DMP算
5、法。11设G是至少三个顶点的简单块。(1)取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入。置i=1;(2)若E(G)-E(Hi)=Φ,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥，并对每座桥B，求出；(3)若存在桥B,使得：，则停止(G不可平面)；否则，在Hi的所有桥中确定一个使得最小的B，并取。(4)在桥B中取一条连接Hi中两个附着顶点的路Pi,置Hi+1=Hi∪Pi,把Pi画在的面f内,得到12(5)置i=i+1转(2)。例5用平面性算法考察下图G的平面性。v6v5v4v3v2v1v8v7图G解：(1)取G的一个圈H1,并作平面嵌入：13v6v5v4v3v2v1v8v7图G(2)v6v5v4v3v2v1
6、v8v7H1v6v5v4v3v2v1v8v7f1f214v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3)取B1和f1.(4)取P1=v1v3f3v6v5v4v3v2v1v8v7f1f215v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3)取B2和f3.(4)取P2=v2v7v6v5v4v3v2v1v8v7f1f2f316v6v5v4v3v2v1v8v7图Gv6v5v4v3v2v1v8v7f1f2f3f417(3)取B1和f1.(4)取P3=v1v4v6v5v4v3v2v1v8v7图Gv6v5v4v3v2v1v8v7f1f2f3f5f418v6v5v4v3v2v1v8v7图G(3)取B1和f5.(4)取P4
7、=v2v6v6v5v4v3v2v1v8v7f1f2f3f6f4f519v6v5v4v3v2v1v8v7图G继续下去，得到：v6v5v4v3v2v1v8v7算法分析：主要运算包括：20（i）找出块G中的一个圈Hi；（ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；（iii）对于的每个面f确定其周界；（iv）对于的每座桥B，确定（v）在Hi的某座桥B中求一条起点与终点均为附着点的一条路Pi。可证上述每一个算法均存
