牛顿插值法c语言实现001

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1、牛顿插值法的C语言实现摘要：拉格朗日插值法具有明显的对称性，公式中的每一项与所有的插值节点有关。因此，如果需要增加一个插值节点，则拉格朗日插值公式中的每一项都要改变，在有的应用中就显得不太方便。因此，可以利用另外一种差值方法来弥补这种缺陷，就牛顿插值法。本文通过对牛顿插值法的数学分析，主要给出其C语言实现方法。关键字：差商差分C语言算法1差商及其牛顿插值公式1.1差商及其主要性质定义若已知函数在点处的函数值。则称：为函数在点的阶差商；为函数过点的阶差商；为函数过点的阶差商；以此类推，一般地称为函数过点的阶差商。性质1阶差商表示为函数值的线性组合。

2、即-13-性质2若函数在包含节点的区间上存在阶导数，则阶差商与导数的关系为1.2牛顿插值公式通过个互异点上的次数不超过的插值多项式可以表示如下形式：这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，一般记为由牛顿插值多项式可以看出，当增加一个插值点时，当前已有的各项不变，只需要在后面增加一项即可。并且，在牛顿插值公式中，每一项的系数就是各阶差商，比拉格朗日插值公式计算量小，且便于程序设计。根据差商性质2，即就可以将拉格朗日插值公式的余项转化成牛顿插值公式的余项，即牛顿插值公式余项更具有一般性，它对于列表函数或者导数不存在的情形都适用。2差分与等距结点插值公

3、式2.1差分及其主要性质定义设函数在等距结点上的函数值为其中，为常熟，称为步长。则-13-称为函数在处以为步长的一阶向前差分，并简记为；称为函数在处以为步长的一阶向后差分，并简记为称为函数在处以为步长的一阶向中心差分，并简记为性质1各阶差分可以表示成函数值的线性组合。即性质2差商与差分具有如下关系：2.2等距结点插值公式2.2.1牛顿前插公式其余项公式为2.2.2牛顿后插公式-13-其余项公式为在用牛顿前插和后插公式计算时候，要涉及到各阶前插和后插计算，下面是各阶向前和向后差分的计算格式，如下图所示。表1各阶向前差分和向前差分的计算公式1阶差分2

4、阶差分3阶差分4阶差分用于前插公式用于后插公式3牛顿差值公式的C程序设计和应用实例3.1牛顿差值法的应用步骤步骤首先我们按照表1，求得各点的差商.然后利用牛顿前差或后差公式，把数值带入.即可以求得n次多项式。它在计算机上的应用步骤如下：步骤1输入所要求的牛顿多项式的次数，并依次输入个节点.for:i=0ton+1{-13-scanf("%f",&x[i])scanf("%f",&y[0][i]);}步骤2计算各阶差商for:i=1ton+1{for:j=iton+1if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x

5、[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);}步骤3代入牛顿插值公式,可计算得出结果。for：i=1ton+1{temp=temp*(xx-x[i-1]);牛顿=牛顿+y[i][i]*temp;}3.2利用牛顿插值法程序的实例为了更方便的应用牛顿插值法，我们进行了与计算机的结合，下面我们将展示几个例子。例2.1已知的一组数据为xsinx（1）构造牛顿插值函数并作图分析。（2）并分别利用程序估计，的估计值。分析首先我们可以通过程序求出差商表：一阶差商二阶差商三阶差商四阶

6、差商-13-带入定义1.5中可求得如下牛顿插值多项式如下(2.1)(2.2)第二步利用C++程序计算和的值。步骤如下：利用C程序：首先输入所要求的牛顿多项式的次数n，然后输入n+1个节点的值.即可以得出和的值为0.2586和0.0804；例2.2设的函数表如下：0.250.300.360.390.450.2231440.2623640.3074850.3293040.371564试计算，分析：同上题步骤我们先求差商表，进而代入公式可得-13-利用C程序我们可以得到计算结果：，，，，从上述两个例子我们可以看出,多项式在区间周围与原函数逼近的较好。离

7、这个区间越远与原函数的误差越大在处时，该图像就已经开始背离图像了.所以该多项式只能在一个小的区间里可以逼近原函数,不适合作为原函数的逼近函数.也可以看出多项式在区间的周围逼近的较好，但是处时，该图像就离原图像误差较大.多项式在区间[0,2.5]都逼近的挺好，从图中我们看出在远离这个区间的图像误差相对较大，但是在这三个多项式中是逼近最好的。于是可以得出节点越多，函数逼近的相对较好.在节点附近逼近的越好，越远离节点误差越大，所以公式适用于计算节点附近的值于是为了减小误差，在下一节的等距节点下的插值公式根据所求的点的函数值的不同分别采取了前插和后插公式

8、。3.4等距节点下的牛顿插值算法与程序设计前面我们讲述了一般节点下的牛顿插值公式，为了计算方便于是有了对等距节点下的牛顿多项式的研究，本