全国初中数学竞赛辅导(初2)第32讲 自测题

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1、自测题　自测题一　　1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．　　2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，　　试确定这个三角形的形状．　　3．已知a，b，c，d均为自然数，且a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，　　求d-b的值．　　4．a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．　　5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交　　　6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相

2、等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？　　7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△　　　　8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．　　9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方

3、案花钱最少？自测题二　　1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．　　2．对于集合p={x丨x是1到100的整数}　　中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号表示．例如17除以4，商是4，余数是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余数是3，即表示成<3，7>=3．试回答下列问题：　　(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；　　(2)用列举法表示集合{x丨==5，x∈P}．　　3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋

4、y4＋z4的值．　　4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．　　(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；　　(2)求证：a是负偶数；　　(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．　　5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．　　　　　7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：　　8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．　　9．甲校需要课

5、外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？自测题三　　　　2．对于任意实数k，方程(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0　　总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．　　　　4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：　　5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过

6、D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．　　6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=　　7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周　　8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．　　9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．　　(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？　　(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？　　(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票

7、最省钱的规律吗？自测题四　　1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．　　2．设　　试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．　　3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．　　4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0．　　5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接

8、MN，求△AMN的周长．　　6．证明：由数字0，1，2，3，4，5