对200考9年高考数学上海卷理科第22题深入研究试

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1、杜安利发稿对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究卫福山（上海市松江二中）2009年高考数学上海卷理科第22题如下：已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质”。若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。（1）判断函数g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f(x)(x＞

2、0)对任何a＞0满足“a积性质”，求y=f(x)的表达式。这道题目的得分率很低，特别是第（3）问的得分率低于0.1，算是一道难度偏大的题。但从数学研究的角度，笔者对这道题进行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中学数学教师的教学有一定的启示。一、对题目的理解本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而来的，对高中生而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。1．关于题设的理解（1）从代数角度，由于y=f-1(x+a)的反函数为y=f(x)-a，故函数y=f(x

3、+a)与y=f-1(x+a)互为反函数即满足f(x+a)=f(x)-a。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则。（2）从几何角度，不妨假定a＞0，由于函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，函数y=f-1(x+a)的图象是由函数y=f-1(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，所以函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)的图象关于直线y=x+a对称。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)的图象关于直线y=ax对称。2．关于问题的理解试题的第（1）问和第（

4、2）问是让考生研究满足“a和性质”的特殊函数，这里起点很低，一个是给定一个具体函数，让考生按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类满足“a和性质”的函数（即一次函数）。第（3）问要求很高，让考生探求满足“a积性质”的函数表达式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数a(a≠0)，则a视为（常）参数；对任何a＞0，则a视为（变）参数，因此第（2）问和第（3）问对参数a的要求不同。二、对问题的深入思考关于第（2）问，给出前提“一次函数”，解决起来问题不大。但是反问一下：满足“2和性质”的函数是否一定是

5、一次函数呢？或者更一般地，满足“a和性质”的函数是否一定是一次函数呢？这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上，对给定的实数a(a≠0)，函数f(x)不一定是一次函数，如满足“1和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=[-x]等，满足“2和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=(c∈R)等，即满足“a和性质”的函数不一定是一次函数。如果对任何实数a，函数f(x)满足“a和性质”，结果如何呢？笔者经过研究发现结果是肯定的，有如下的命题。命题：设y=f(x),x∈R是初等函数，且对任何实

6、数a(a≠0)有f(x+a)=f(x)-a，则f(x)=-x+b（b为任何实数）。4杜安利发稿证法1：令a=1有f(x+1)-f(x)=-1。当x∈N*时，有：f(2)-f(1)=-1,f(3)-f(2)=-1,……f(n)-f(n-1)=-1,相加得f(n)=-n+f(1)+1。因此，当x∈N*时，有f(x)=-x+f(1)+1。令a=(n∈N*)，则有，于是：相加得，即。同样，（n∈N*,m∈N*）。于是对任何正有理数x，f(x)=-x+f(1)+1。用-x代替x有f(-x+a)=f(-x)-a，同样得对任何负有理数

7、x，f(x)=-x+f(1)+1。于是对任何有理数x，有f(x)=-x+f(1)+1。对任何x∈R，利用实数的稠密性，存在一串有理数{xn}，使得利用初等函数的连续性，有f(x)=。又由已知条件f(1)的值无法确定，是（常）参数，令f(1)+1=b(b∈R)，得f(x)=-x+b。证法2：令x=1有f(1+a)=f(1)-a。由于a为任何实数，令1+a=x，则x∈R,a=x-1，于是有f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。令f(1)+1=b(b∈R)，得f(x)=-x+b。证法3：由于方程f(x+a)=f(

8、x)-a对任何a∈R,x∈R成立，不妨先将x看作参数，a看成是变量，于是f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x，且此时f(x)+x看成是参数。记f(x)+x=b(b∈R)，即f(x+a)=-(x+a)+b，再用x代替x+a有f(x)=-x+b(b∈R)。【评注】对任何实数a，则视a为变参数，这就是证法1中可以令a=