全国高中数学竞赛二试模拟训练题(26)

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1、加试模拟训练题（26）1、设锐角△ABC的∠A平分线交BC于L，交外接圆于N，自点L分别向AB和AC作垂线LK和LM，垂足分别为K和M．求证：△ABC的面积等于四边形AKNM的面积．2.设，且，证明-6-3、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．4、如果一个正整数在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题（26）1、设锐角△ABC的∠A平分线交BC于L，交外接

2、圆于N，自点L分别向AB和AC作垂线LK和LM，垂足分别为K和M．求证：△ABC的面积等于四边形AKNM的面积．【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题2．本题由原苏联提供．【证】作△ABC的高AH，则A、K、H、L、M五点共圆．连结KH、HM、HN、BN和NC，便有∠KHB＝∠BAL＝∠NAC＝∠HBN∠MHC＝∠MAN＝∠NAB＝∠NCH故知KH∥BN，HM∥NC．从而有S△KBH＝S△KNH，S△HMC＝S△HMN由此即得S△ABC＝S△AKNM易知△ABL∽△ANC，所以-6-óAB·

3、AC＝AN·ALS△ABC＝AB×ACsinA＝AL×ANsinA＝2×(AL×cos＝2×AK×ANsin＝2S△AKN＝SAKNM2.设，且，证明（1998年第39届IMO预选试题）分析可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化。证法一:因，所以①4②③以上三式相加可得：上述不等式都是在时取等号.所以，当且仅当时原不等式取等号.证法二:原不等式等价于由于对任意正数，有，下面证明更强的不等式：④成立.-6-设，则，且在上是严格递增函数，因为只需证明即可.其证明如下

4、：假设，则.由，得，.因，所以故原不等式成立.等号当且仅当时成立.3、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称为的数码组，则；（一）、当数码组只含一个值，为，共得个值；（二）、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种

5、有个．-6-、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．（三）、当数码组恰含三个值，．、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，同情况，有个值．以上共计个值．　　(四）、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．综上，全部四位三角形数的个数为个．4、如果一个正整数在三进制下表

6、示的各数字之和可以被3整除，那么我们称为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题）解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：引理1.在3个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。引理2.在9个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。把这3个

7、“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为，根据引理1，得，即。-6-设前个“好的”正整数之和为，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2

8、004个“好的”非负整数之和。因此；又因为和都是“好的”正整数。因此前2005年“好的”正整数之和是：　　。-6-